Sachant que le champ re ´sultant est suivant Oz, seule la composante
E Pz suivant Oz intervient dans le calcul. En introduisant l’angle a que
fait PM avec Oz (voir figure 2.23) on peut e ´crire :
dE Pz ðMÞ ¼ u
!
z :dE
!
P ðMÞ ¼
s o dS
4pe o
PM
À !
: u
!
z
PM
3
¼
s o dS
4pe o
PMcosa
PM
3
avec tana ¼
r
z .
Cette expression est identique pour l’ensemble des points P situe ´s
sur une couronne de rayon r et d’e ´paisseur e ´le ´mentaire dr. La surface
e ´le ´mentaire correspondante s’e ´crit alors :
dS ¼ 2pr dr
L’expression de la composante dE Pz du champ e ´le ´mentaire devient :
dE Pz ðMÞ ¼
s o 2pr dr
4pe o
cosa
PM
2
¼
s o
2e o
r cosa
PM
2
dr
Pour obtenir le champ re ´sultant il suffit d’additionner tous les
champs e ´le ´mentaires cre ´e ´s par les couronnes de rayon r variant de
0 a ` R (voir figure 2.23). Il est possible aussi de choisir la variable a pour
positionner une couronne, l’angle a variant de 0 a ` b (avec tanb ¼ R=z)
pour recouvrir le disque.
R
M
P
dE P (M)
→
α
β
E(M)
→
z
O
dr
x
r
Figure 2.23 Disque charge ´ uniforme ´ment : champ e ´lectrostatique sur un point
de l’axe.
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques