En conside ´rant le cas du fil infini c’est a ` dire r/L <<1, un
de ´veloppement limite ´ donne :
sinb ¼ 1 þ
r
2
L
2
À1=2
% 1 À
r
2
2L
2
et sin b o ¼ 1 þ
r
2
o
L
2
À1=2
% 1 À
r
2
o
2L
2
En rempla¸ cant les sinus dans l’expression du potentiel, on obtient :
VðMÞ ¼
l
4pe o
ln
1 þ sinb
1 À sinb
1 À sinb o
1 þ sinb o
¼
l
4pe o
ln
2 À r
2
=2L
2
r 2 =2L
2
r
2
o =2L
2
2 À r 2
o =2L
2
VðMÞ ¼
l
4pe o
ln
r o
r
2 2 À r
2
=2L
2
2 À r 2
o =2L
2
) VðMÞ %
2l
4pe o
ln
r o
r
¼ À
l
2pe o
ln
r
r o
On retrouve bien l’expression de ´termine ´e a ` partir du champ.
Les surfaces e ´quipotentielles s’obtiennent en cherchant l’ensemble
des points se trouvant au me ˆme potentiel c’est-a `-dire : V(M) = V(r) =
constante. On a alors : VðrÞ ¼ C
ste
) r ¼ constante ce qui correspond
a ` l’e ´quation d’un cylindre de rayon r et dont l’axe est confondu avec le fil.
Les lignes de champ sont radiales (champ dirige ´ suivant u
!
r ) c’est
a ` dire perpendiculaire aux surfaces e ´quipotentielles.
Fil infini chargé
uniformément
Lignes de champ
Cylindre = Surfaces
équipotentielles
Figure 2.21 Surfaces e ´quipotentielles et lignes du champ e ´lectrostatique d’un
fil infini charge ´ uniforme ´ment.
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques