vers p/2, on obtient pour le champ e ´lectrostatique l’expression
suivante :
E
!
ðMÞ ¼
l o
2pe o r
u
!
r :
Le me ˆme raisonnement applique ´ a ` l’expression du potentiel V(r)
(avec Vð¥Þ ¼ 0) conduit a ` une inde ´termination. Ceci provient du
fait qu’il existe des charges a ` l’infini et qu’il n’est plus possible de
fixer un potentiel nul a ` l’infini. Aussi, dans des proble `mes similaires, la de ´termination du potentiel se fera a ` partir de l’expression
du champ e ´lectrostatique. En utilisant la de ´finition diffe ´rentielle on
peut e ´crire :
dVðrÞ ¼ ÀE
!
ðrÞ:d l
! ¼ ÀEðrÞdr ¼ À
l o
2pe o
dr
r
Ainsi pour ce proble `me, le potentiel est donne ´ par :
VðrÞ ¼ À
l o
2pe o
ð dr
r
¼ À
l o
2pe o
ln r þ C
ste
La constante de ´pend du choix de l’origine des potentiels qui dans ce
cas ne peut pas e ˆtre nulle a ` une distance infinie du fil. En prenant par
exemple V(r o ) = 0 ou ` r o peut repre ´senter l’unite ´ de longueur on a :
Vðr o Þ ¼ 0 ) C
ste
¼
l o
2pe o
ln r o
Le potentiel s’e ´crit alors :
VðrÞ ¼ À
l o
2pe o
ln r þ
l o
2pe o
ln r o ¼ À
l o
2pe o
ln
r
r o
Ce re ´sultat peut se retrouver a ` partir de l’expression du potentiel obtenu
pour le fil de longueur 2L par la me ´thode d’inte ´gration directe a ` la condition de prendre la me ˆme origine des potentiels c’est a ` dire V(r o ) = 0 et non
pas le potentiel nul a ` l’infini. On a alors :
VðMÞ ¼
l
4pe o
ln
1 þ sinb
1 À sinb
þ V o ¼
l
4pe o
ln
1 þ sinb
1 À sinb
À
l
4pe o
ln
1 þ sinb o
1 À sinb o
Les sinus des angles b et b 0 s’e ´crivent :
sinb¼
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
L
2
þr 2
p
¼
L
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1þðr=LÞ
2
q
¼ 1þ
r
2
L
2
À1=2
et sinb o ¼ 1þ
r
2
o
L
2
À1=2
:
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
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