En prenant Vð¥Þ ¼ 0 c’est-a `-dire b!0 on a : Vðr!¥Þ ¼ V o ¼ 0.
Finalement, on retrouve le me ˆme re ´sultat que par la me ´thode
d’inte ´gration directe.
De ´ termination du champ E
!
ðMÞ a ` partir du potentiel V(M)
En partant de la relation entre potentiel et champ on a, pour M sur la
me ´diatrice du fil ( figure 2.20) :
dV
dr
¼ ÀE ) E ¼ À
dV
db
db
dr
avec r ¼
L
tanb
et
db
dr
¼ À
sin
2
b
L
E ¼
dV
db
sin
2
b
L
et VðMÞ ¼
l
4pe o
½lnð1 þ sinbÞ À lnð1 À sinbފ
dV
db
¼
l o
4pe o
d
db
½lnð1 þ sinbŠ À
d
db
½lnð1 À sinbŠ
dV
db
¼
l o
4pe o
cosb
1 þ sinb
þ
cosb
1 À sinb
dV
db
¼
l o cosb
4pe o
ð1 À sinbÞ þ ð1 þ sinbÞ
1 À sin
2
b
dV
db
¼¼
l o
4pe o
2cosb
1 À sin
2
b
¼
l o
4pe o
2
cosb
E ¼
dV
db
sin
2
b
L
¼
l o
2pe o
sin
2
b
L cosb
¼
l o
2pe o r
r
L
tanb sinb
D’ou `, avec tanb ¼
L
r on a : E ¼
l o
2pe o r
sinb ¼
l o
2pe o r
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
L
2
þ r 2
p
On retrouve bien l’expression de ´termine ´e par le calcul direct
Cas particulier : le fil charge ´ a une longueur infinie
Une ope ´ration de syme ´trie supple ´mentaire apparaı ˆt. Il s’agit de la
syme ´trie de translation le long de l’axe Oz. Le syste `me posse ´dant en
plus la syme ´trie de re ´volution autour de l’axe Oz, on dit qu’il posse `de
la syme ´trie cylindrique.
Dans le cas ou ` L >> r qui correspond au cas ou ` le fil devient
infini ou quand le point M est tre `s proche du fil, l’angle b tend
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques