avec le changement de variable u ¼ sina.
La de ´composition en fractions simples donne :
2du
ð1 À uÞð1 þ uÞ
¼
1
1 þ u
þ
1
1 À u
du ¼
du
ð1 þ uÞ
þ
du
ð1 À uÞ
La primitive I s’e ´crit :
I ¼ ½lnð1 þ uÞ À lnð1 À uފ ) I ¼ ln
1 þ u
1 À u
¼ ln
1 þ sina
1 À sina
ð 2da
cosa
¼ ln
1 þ sina
1 À sina
a ` une constante pre `s
Calcul du potentiel V(M) a ` partir du champ E
!
ðMÞ
Par de ´finition et en conside ´rant le cas ou ` le point M est sur la
me ´diatrice du fil (figure 2.20) :
dVðMÞ ¼ ÀE
!
ðMÞ:dOM
ƒ! ¼ ÀE
!
dr u
!
r ) dV ¼ ÀEdr
dV ¼ À
l o
2pe o
sinb
r
dr
Dans ce calcul le point M « bouge » et r est donc variable.
Les variables r et b sont relie ´es par les relations :
r ¼
L
tanb
et dr ¼ À
L
sin
2
b
db
En choisissant de conserver la variable b plut^ ot que r, on a :
dV ¼
2l o
4pe o
tanb
L
sinb
L
sin 2 b
db ¼
2l o
4pe o
db
cosb
Pour obtenir le potentiel V(M) il suffit de de ´terminer une primitive de
l’expression pre ´ce ´dente. D’apre `s l’encart 2.5 on a :
ð 2da
cosa
¼ ln
1 þ sina
1 À sina
Le potentiel s’e ´crit donc :
VðMÞ ¼
l
4pe o
ln
1 þ sinb
1 À sinb
þ V o avec sinb ¼
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
L
2
þ r 2
p
et V o
une constante qui de ´pend du choix de l’origine des potentiels.
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
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