Potentiel e ´le ´mentaire cre ´e ´ par P (charge l o dl ¼ l o dz) en M :
dV P ðMÞ ¼
1
4pe o
dq
PM
¼
1
4pe o
l o dz
PM
En conservant la variable a pour positionner P sur le fil, on a :
1
PM
¼
cosa
r
et dz ¼
rda
cos 2 a
dz
PM
¼
cosa
r
rda
cos 2 a
¼
da
cosa
En rempla¸ cant dans l’expression du potentiel dV P (M) :
dV P ðMÞ ¼
l o
4pe o
da
cosa
VðMÞ ¼
ð
P2f il
dV P ðMÞ ¼
ð b
Àb
l o
4pe o
da
cosa
Le potentiel s’e ´crit : VðMÞ ¼
l o
4pe o
K avec K ¼
ð b
Àb
da
cosa
¼ 2
ð b
0
da
cosa
Le calcul de l’inte ´grale K donne (voir encart 2.5) :
K ¼ ln
ð1 þ uÞ
ð1 À uÞ
sinb
0
¼ ln
ð1 þ sinbÞ
ð1 À sinbÞ
On peut donc donner l’expression du potentiel :
VðMÞ ¼
l o
4pe o
K ¼
l o
4pe o
ln
1 þ sinb
1 À sinb
et sinb ¼
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
L
2
þ r 2
p
Dans cette expression, le potentiel est choisi nul a ` l’infini c’est a ` dire pour
b ¼ 0.
Encart 2.5 Calcul d’une primitive : I ¼
Ð
2ðcosaÞ
À1 da
2da
cosa
¼
2cosa da
cos 2 a
¼
2dðsina Þ
1 À sin
2
a
¼
2du
1 À u 2 ¼
2du
ð1 À uÞð1 þ uÞ
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques