E
!
ðMÞ ¼
l o
4pe o r
ð½sinaŠ
a B
a A
u
!
r þ ½cosaŠ
a B
a A
u
!
z Þ
E
!
ðMÞ ¼
l o
4pe o r
ð½sina B À sina A Šu
!
r þ ½cosa B À cosa A Š u
!
z Þ
Dans cette expression, les sinus et cosinus des angles a A et a B de ´pendent de
la position r du point M. On a par exemple :
cos a A ¼
r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2
A þ r 2
p
et sin a B ¼
z B
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 2
B þ r 2
p
Si OM est la me ´diatrice du fil (voir figure 2.20), on a
a A ¼ Àa B ¼ Àb. Il n’y a donc pas de composante suivant z. Le champ
est suivant u
!
r et on obtient :
E
!
ðMÞ ¼
l o
2pe o r
sin b u
!
r ¼
l o
2pe o r
L
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
L
2
þ r 2
p
u
!
r
Remarque :
La me ´diatrice du fil est un axe de syme ´trie (d’ordre 2). On retrouve
bien que le champ est suivant cet axe.
Calcul du potentiel V(M) (inte ´ gration directe)
On conside `re le cas ou ` le point M est sur la me ´diatrice : a A ¼
Àa B ¼ Àb
Dans ce calcul le point M est fixe ´, r n’est pas une variable.
A
B
r
M
O
u r
→
u z
→
E(M)
→
-β
β
L
L
Figure 2.20 Calcul du champ cre ´e ´ par un fil rectiligne charge ´ uniforme ´ment
avec une densite ´ line ´ique de charges l o en un point M situe ´ sur la me ´diatrice.
2.3 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s
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