En introduisant l’angle a que fait PM avec OM, on peut e ´crire :
dE
!
P ðMÞ ¼
1
4pe o
l o dz
PM
2
½cosa u
!
r À sina u
!
z Š
Les variables z (z A z z B ) ou a (a A a a B ) ne sont pas
inde ´pendantes et peuvent servir a ` repe ´rer le point P. On a :
tana ¼
z
r
) dz ¼
rda
cos 2 a
En choisissant la variable a on peut e ´crire :
1
PM
2
¼
cos
2
a
r 2 )
dz
PM
2
¼
cos
2
a
r 2
rda
cos 2 a
¼
da
r
En reportant dans l’expression du champ e ´le ´mentaire, on obtient :
dE
!
P ðMÞ ¼
l o
4pe o r
½cosa da u
!
r À sina da u
!
z Š
Le champ total en M s’obtient alors simplement :
E
!
ðMÞ ¼
ð
P2f il
dE
!
P ðMÞ ¼
l o
4pe o r
u
!
r
ð
a B
a A
cosa da À u
!
z
ð
a B
a A
sina da
2
4
3
5
P
A
B
z
M
O
u r
→
u z
→
dl
u PM
→
dE P (M)
→
a A
a
a
a B
Figure 2.19 Calcul du champ cre ´e ´ par un fil rectiligne charge ´ uniforme ´ment
avec une densite ´ line ´ique de charges lðPÞ ¼ l o
52
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques