Si le point M est dans le plan d’anti-syme ´trie il se confond avec son
syme ´trique M S . On a alors :
M et M S sym etriques=p AS ) E
!
== ðM S Þ ¼ ÀE
!
== ðMÞ
M 2 p S ;M M S ) E
!
== ðM S Þ ¼ E
!
== ðMÞ
)
) E
!
== ðMÞ ¼ 0
!
Le vecteur champ e ´lectrostatique n’a pas de composante dans
le plan d’anti-syme ´trie : il est perpendiculaire au plan d’anti-syme ´trie.
Les transformations d’une grandeur vectorielle par un plan de syme ´trie ou
d’anti-syme ´trie de ´pendent de la nature du champ de vecteurs. Les re ´sultats
donne ´s ci-dessus concernent un champ de vecteurs polaires (ou vecteur)
(tel que le champ e ´lectrostatique, un champ de vitesses. . .). Les re ´sultats
sont oppose ´s pour un champ de vecteurs axiaux (ou pseudo vecteur) (tel
que le champ magne ´tique).
Invariance par translation
Il y a invariance par translation paralle `lement a ` un axe D confondu
avec l’axe Oz d’un repe `re carte ´sien si la densite ´ de charges r reste
inchange ´e lorsqu’on passe d’un point M de coordonne ´es (x, y, z) a `
un point M
0 de coordonne ´es (x, y, z
0 ) (figure 2.14). On peut donc
e ´crire :
Pour tout z et z
0
rðx; y; zÞ ¼ rðx; y; z
0
Þ
Plan d’anti-symétrie (p AS ) pour les charges
E //
E AS// = –E //
→
E ⊥
→
→
→
E AS⊥ = E ⊥
→
→
E(M)
E(M S )
→
→
M
M S
(q)
(–q)
(q)
(–q)
Figure 2.13 Transformation du vecteur champ e ´lectrostatique par un plan
d’anti-syme ´trie (p AS ).
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques