En remarquant que d l
! ¼ dxu
!
x þ dyu
!
y þ dzu
!
z , la diffe ´rentielle
totale de la fonction peut s’e ´crire comme le produit scalaire de
deux vecteurs :
df ¼ grad
ƒƒ!
f :d l
!
En coordonne ´es cylindriques ðr; ; zÞ on a :
d f ¼ grad
ƒƒ! f :d l
!
avec
d l
! ¼ dru
!
r þ rd u
!
þ dzu
!
z
et
d f ¼ q r f þ q f þ q z f ¼
qf
qr
;z
dr þ
qf
q
r;z
dþ
qf
qz
r;
dz. On en
de ´duit : grad
ƒƒ! f ¼
qf
qr
u
!
r þ
1
r
qf
q
u
!
þ
qf
qz
u
!
z
Signification ge ´ome ´trique : soit la surface de ´finie par f (x, y, z) =
constante. Si le point M se de ´place sur la surface le vecteur dOM
ƒ!
appartient a ` cette surface. La diffe ´rentielle d’une constante e ´tant
nulle (df = 0) on a : df ¼ grad
ƒƒ! f :dOM
ƒ! ¼ 0
Le vecteur gradient est un vecteur perpendiculaire aux surfaces
de ´finies par f (x, y, z) = constante.
d) Surfaces e ´ quipotentielles
Une surface e ´quipotentielle correspond a ` l’ensemble des points M
se trouvant au me ˆme potentiel. Elle est donc de ´finie par V(M) =
constante
Dans le cas d’une charge ponctuelle :
VðMÞ ¼
Q
4pe o r
¼ constante ¼ V 1 ) r ¼ OM ¼ r 1 ¼
Q
4pe o V 1
L’ensemble des points M situe ´s a ` la distance r 1 du point O se trouve sur
la sphe `re de rayon r 1 et de centre O.
Remarque :
Le vecteur gradient d’une fonction f (x, y, z) est un vecteur perpendiculaire aux surfaces de ´finies par f (x, y, z) = constante et est dirige ´ vers
les valeurs croissantes de la fonction (voir encart 2.1). Le champ
e ´lectrostatique e ´tant oppose ´ par de ´finition au gradient du potentiel
(voir relation 2.7) on en de ´duit que les lignes de champs sont des
droites perpendiculaires aux sphe `res et dirige ´es vers les potentiels
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Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques