Si le point d’arrive ´e M 2 correspond au point de de ´part M 1 , on a :
ð M 1
M 1
E
!
ðMÞ:d l
! ¼ À
ð M 1
M 1
dV ¼ VðM 1 Þ À VðM 1 Þ ¼ 0
La circulation du champ e ´lectrostatique sur une courbe ferme ´e
est nulle. On dit que le champ e ´lectrostatique est a ` circulation
conservative.
Encart 2.1. Le vecteur gradient d’une fonction
Soit une fonction f(x) d’une variable x. La diffe ´rentielle de cette
fonction s’e ´crit : df ¼
df
dx dx. Cette diffe ´rentielle nous renseigne
sur la variation de la fonction pour une variation e ´le ´mentaire dx
de la variable x.
Lorsque la fonction de ´pend de trois variables (x,y,z) la
diffe ´rentielle s’obtient en fixant a ` tour de r^ ole deux variables
sur les trois.
Diffe ´rentielle partielle : on conside `re une variation e ´le ´mentaire
de la variable x, les variables y et z e ´tant fixe ´es. La fonction peut
e ˆtre conside ´re ´e comme une fonction d’une variable. On appelle
alors de ´rive ´e partielle de la fonction par rapport a ` x la de ´rive ´e
obtenue en conside ´rant y et z comme des constantes. La notation
est :
De ´rive ´e partielle de f par rapport a ` x :
qf
qx
y;z
Il est alors possible d’exprimer la diffe ´rentielle dite partielle en
fonction de cette de ´rive ´e et note ´e : q x f ¼
qf
qx
y;z
dx.
La me ˆme ope ´ration peut e ˆtre effectue ´e avec y (x et z e ´tant
fixe ´es) puis z (x et y fixe ´es). L’expression de la diffe ´rentielle
totale de la fonction correspond a ` la somme des diffe ´rentielles
partielles :
df ¼ q x f þ q y f þ q z f ¼
qf
qx
y;z
dx þ
qf
qy
x;z
dy þ
qf
qz
x;y
dz:
On de ´finit alors le vecteur gradient de la fonction, en
coordonne ´es carte ´siennes par :
grad
ƒƒ!
f ¼
qf
qx
u
!
x þ
qf
qy
u
!
y þ
qf
qz
u
!
z
2.1 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques cre ´e ´s par une charge ponctuelle
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