courbe, la charge Q cre ´e un champ e ´lectrique E
!
ðMÞ dont l’expression
(2.2) est :
E
!
ðMÞ ¼
1
4pe o
Q
r 2 u
!
r
avec u
!
r vecteur unitaire suivant OM = r.
Un de ´placement e ´le ´mentaire sur la courbe (AB) correspond a ` un
passage du point M au point voisin M
0 suffisamment proche pour pouvoir conside ´rer que le champ e ´lectrostatique ne change pas. Ce
de ´placement e ´le ´mentaire note ´ d l
!
peut toujours se de ´composer en un
de ´placement e ´le ´mentaire dr suivant u
!
r et un de ´placement e ´le ´mentaire
d l
!
? perpendiculairement a ` u
!
r (voir figure 2.4). On peut donc e ´crire :
MM
0
ƒƒ! ¼ d l
! ¼ dru
!
r þ d l
!
?
ð2:3Þ
avec u
!
r :d l
!
? ¼ 0
La circulation e ´le ´mentaire dC du champ E
!
ðMÞ est par de ´finition :
dC ¼ E
!
ðMÞ:d l
!
ð2:4Þ
La lettre grecque d (delta) est utilise ´e pour indiquer que la grandeur
conside ´re ´e est e ´le ´mentaire (ou infiniment petite) alors que la lettre « d »
est utilise ´e pour de ´signer la diffe ´rentielle d’une grandeur pouvant aussi
repre ´senter la variation e ´le ´mentaire de la grandeur.
En utilisant l’expression (2.3) du de ´placement e ´le ´mentaire on obtient :
dC ¼ E
!
ðMÞ:d l
! ¼
1
4pe o
Q
r 2 u
!
r :ðdru
!
r þ d l
!
? Þ
¼
1
4pe o
Q
r 2 ½dru
!
r :u
!
r þ u
!
r :d l
!
? Š ¼
Q
4pe o
dr
r 2
En remarquant que 1=r
2 est la de ´rive ´e de la fonction ðÀ1=rÞ on peut
e ´crire que :
dr
r 2 ¼ d À
1
r
¼ Àd
1
r
On obtient donc finalement :
dC ¼
Q
4pe o
dr
r 2 ¼ Àd
Q
4pe o r
ð2:5Þ
La circulation e ´le ´mentaire dC du champ e ´lectrostatique se pre ´sente
comme l’oppose ´ de la diffe ´rentielle d’une fonction Q=4pe o r.
30
Chapitre 2 ● Champ et potentiel e ´lectrostatiques