On a : AC
2
¼ BC
2
¼ a
2
þ b
2
AC
! ¼ OC
! À OA
! ¼ au
!
x þ bu
!
y et BC
! ¼ OC
! À OB
! ¼ Àau
!
x þ bu
!
y
La force qui s’exerce sur la charge 2Q re ´sulte des deux actions
exerce ´es par les charges þQ et ÀQ :
F
! ¼ F
!
1 þ F
!
2 ¼
2Q
4pe o
QAC
!
AC
3
þ
2Q
4pe o
ðÀQÞBC
!
BC
3
¼
Q
2
2pe o
AC
! À BC
!
AC
3
F
! ¼ F
!
1 þ F
!
2 ¼
Q
2
2pe o
2au
!
x
ða 2 þ b
2
Þ
3=2
¼
Q
2
pe o a 2 1 þ
b
2
a 2
À3 = 2
u
!
x
Cette force est paralle `le a ` l’axe Ox et de norme :
Q
2
pe o
a
ða 2 þ b
2 Þ
3=2 u
!
x
1.6 D’apre `s la loi de Coulomb et le principe de superposition on a :
F
! ¼ F
!
1 þ F
!
2 ¼
2Q
4pe o
ÀQ
ðd þ xÞ
2
u
!
AC þ
2Q
4pe o
ÀQ
ðd À xÞ
2
u
!
BC
Avec u
!
AC ¼ u
!
x ¼ Àu
!
BC on obtient :
F
! ¼ À
Q
2
2pe o
1
ðd þ xÞ
2
À
1
ðd À xÞ
2
"
#
u
!
x ¼ À
2Q
2
pe o
yd
ðd þ xÞ
2
ðd À xÞ
2
u
!
x
La position d’e ´quilibre est re ´alise ´e lorsque la force F
! ¼ 0
!
c’est-a `dire pour x ¼ 0. La charge est donc en e ´quilibre lorsqu’elle est au
point O.
Si a ` partir de la position d’e ´quilibre, on effectue un de ´placement
e ´le ´mentaire de la charge q c , celle-ci subira une force qui va s’opposer
au de ´placement effectue ´ et donc oriente ´e vers la position d’e ´quilibre.
L’e ´quilibre ainsi re ´alise ´ est donc stable.
1.7 Les forces s’exer¸ cant sur l’une des sphe `res charge ´es se composent de la force e ´lectrique ðF
!
Þ, du poids de la sphe `re ðP
!
Þ et de la
tension du fil ðT
!
Þ. L’e ´quilibre de la sphe `re est re ´alise ´e pour :
P
! þ F
! þ T
! ¼ 0
!
Les projections sur les axes du repe `re x, y donnent :
F À Tsin ¼ 0
Tcos À P ¼ 0
) F ¼ P:tan
La charge (Q) porte ´e par l’e ´lectroscope est re ´partie sur les deux
sphe `res (Q
0 = Q/2) qui interagissent avec la force e ´lectrique :
Solutions
23