b) En supposant que la distribution de charges est uniforme sur le
cylindre, de ´terminer l’expression litte ´rale des densite ´s de charges
de ´veloppe ´es sur la surface interne et externe du cylindre.
1.4 Distributions de charge.
Soit un fil fin, de centre O, dirige ´ suivant un axe Oz, de longueur 2L
et portant une charge e ´lectrique totale Q re ´partie line ´airement.
a) Donner l’expression de la densite ´ line ´ique de charge moyenne l m
si on suppose que la re ´partition est uniforme.
b) Cette distribution de charge n’est pas uniforme et suit la loi :
l z
ð Þ ¼ l o cos
p:z
2L
: pour À L z þL et l z
ð Þ ¼ 0 pour z
j j ! L
Exprimer la charge e ´le ´mentaire dQ situe ´e en z sur une portion de fil dz.
En de ´duire l’expression de l o en fonction de Q et de L.
c) En s’approchant de l’axe Oz, le fil apparaı ˆt comme un cylindre
d’axe Oz et de rayon R (figure 1.14). On conside `re alors que la charge
est re ´partie en surface. Sachant que pour un z fixe ´ et sur une hauteur dz,
la re ´partition est uniforme, exprimer, comme au b), la charge e ´le ´mentaire dQ situe ´e en z sur une hauteur dz. En de ´duire l’expression de la
distribution surfacique de charge s(z) en fonction de l o , L et z puis en
fonction de Q, L et z.
d) En fait, cette re ´partition n’est pas surfacique mais pluto ˆt volumique. Apre `s avoir exprime ´ la charge e ´le ´mentaire dQ situe ´e en z sur
une e ´paisseur dz, de ´terminer l’expression de r z
ð Þ en fonction de l o ,
L et z puis en fonction de Q, L et z.
1.5 Force e ´ lectrostatique
Dans un repe `re plan (O, x, y) on conside `re trois charges ponctuelles de
coordonne ´es : þQ en A(Àa,0) ; ÀQ en B(a,0) ; 2Q en C(0,b).
O
y
z
R
L
L
x
O
y
z
L
L
x
Figure 1.14 Fil cylindrique de longueur 2L, portant une charge e ´lectrique totale Q.
Exercices
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