þ
cercle
B
!
:d l
! ¼
þ
cercle
BðrÞdl ¼ BðrÞ
þ
cercle
dl ¼ 2prBðrÞ
The ´ore `me d’Ampe `re :
Si le point M est en dehors du fil : r > R : alors le courant enlace ´ est I.
Si le point M est dans le fil : r < R : il ne faut compter que le courant
circulant dans la partie du cylindre de rayon r < R. On a donc :
I enlac e ¼
ð
cercle
j:
!
d S
! ¼ j
ð
r
dS ¼ jpr
2
¼ I
r
2
R
2
Conclusion :
M est a ` l’inte ´rieur (r < R ) : B int ðrÞ ¼ m o I
r
2
2prR
2 ¼
m o I
2pR
2 r
M est a ` l’exte ´rieur (r > R) : B ext ðrÞ ¼
m o I
2pr
Pour r = R, le champ est continu BðRÞ ¼ m o I=2pR
6.6 Flux magne ´ tique a ` travers une bobine longue
a) Lorsque la longueur de la bobine de ´passe dix fois le diame `tre,
le champ magne ´tique au milieu de la bobine est le me ˆme que celui
obtenu si on conside `re la bobine de longueur infinie (voir 5.4 c). si on
ne ´glige les effets de bords, on peut alors conside ´rer la bobine comme
un sole ´noı ¨de infiniment long d’axe zz’.
En utilisant le the ´ore `me d’Ampe `re (voir cours 6.2 b) on obtient :
B
! ¼ Bu
!
z ¼ m o nI u
!
z ¼ m o
N
l
I u
!
z
Attention : dans l’expression du champ, n repre ´sente le nombre de
spires par unite ´ de longueur.
Le champ magne ´tique est uniforme dans la bobine
b) Le flux du champ a ` travers une spire est e ´gal a ` :
F 1 ¼
ð
spire
B
!
:d S
! ¼ Bu
!
z
ðð
spire
dSu
!
z ¼ B
ðð
spire
dS ¼ BS ¼ Bp
d
2
4
Le re ´sultat est le me ˆme quelque soit la spire conside ´re ´e. On a donc :
F P ¼ NF 1 ¼ Nm o
N
l
Ip
d
2
4
¼ m o
N
2
pd
2
4l
I
c) L ¼ F P =I ¼ m o
N
2 pd
2
4l . L’inductance de ´pend de la ge ´ome ´trie du
circuit.
A.N. : L ¼ m o
N
2
pd
2
4l
¼ 4p:10
À7 ð5:10
3
Þ
2
:p:ð5:10
À2
Þ
2
4:0; 4
¼ 0;154 H
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