6.4 a) Le plan contenant l’axe du tore et le point M (voir coupe CC’
de la figure exercice 6.4) est un plan de syme ´trie pour les courants.
En coordonne ´es cylindriques ce plan contient les vecteurs unitaires u
!
z
(l’axe) et u
!
r (les points O et M). Le champ magne ´tique doit e ˆtre
perpendiculaire a ` ce plan donc est suivant u
!
: il s’agit donc d’un
champ orthoradial.
B
!
ðMÞ ¼ B
!
ðr; ; zÞ ¼ Bðr; ; zÞ u
!
L’axe z est un axe de syme ´trie : il y a invariance pour toute rotation
d’un angle quelconque : l’intensite ´ du champ ne de ´pend pas de .
Conclusion : les lignes de champ sont des cercles concentriques
autour de l’axe et l’intensite ´ du champ ne de ´pend a ` priori que de r et z :
B
!
ðMÞ ¼ Bðr; zÞ u
!
.
b) Choix d’un contour ferme ´ : un cercle passant par M, de rayon r et
d’axe Oz. Sur ce cercle perpendiculaire a ` l’axe Oz, les variables r et z
sont constantes. On a donc avec l’orientation suivant u
!
:
B
!
:d l
! ¼ Bðr; zÞu
!
:dl u
!
¼ Bðr; zÞdl
þ
cercle
B
!
:d l
! ¼
þ
cercle
Bðr; zÞdl ¼ Bðr; zÞ
þ
cercle
dl ¼ 2prBðr; zÞ
The ´ore `me d’Ampe `re :
þ
cercle
B
!
:d l
! ¼ m o
X
I enlac e ¼ 2prBðr; zÞ ) Bðr; zÞ ¼
m o
P
I enlac e
2pr
De ´termination des courants enlace ´s (voir figure 6.16) :
Si le point M est en dehors du tore, au-dessus ou au-dessous : aucun
courant ne traverse la surface de ´limite ´e par le cercle de rayon r passant
par M. Dans ce cas, le champ magne ´tique est nul.
Si le point M est en dehors du tore mais au niveau du tore alors on
de ´nombre NI courants passant dans le sens positif (sens u
!
z Þ et le me ˆme
nombre dans l’autre sens. Globalement on a un courant enlace ´ nul et le
champ magne ´tique est donc nul.
Par contre si le point M est a ` l’inte ´rieur, on de ´nombre NI courants
enlace ´s traversant la surface s’appuyant sur le contour dans le sens
positif.
M inte ´rieur au tore : BðM int Þ ¼
m o NI
2pr avec b < r < b þ a
M exte ´rieur au tore : BðM ext Þ ¼ 0 avec 0 < r < b ou r > a þ b
On constate que le champ magne ´tique ne de ´pend pas de la coordonne ´e z.
Solutions
205
de la figure exercice 6.4) est un plan de syme ´trie pour les courants.
En coordonne ´es cylindriques ce plan contient les vecteurs unitaires u
!
z
(l’axe) et u
!
r (les points O et M). Le champ magne ´tique doit e ˆtre
perpendiculaire a ` ce plan donc est suivant u
!
: il s’agit donc d’un
champ orthoradial.
B
!
ðMÞ ¼ B
!
ðr; ; zÞ ¼ Bðr; ; zÞ u
!
L’axe z est un axe de syme ´trie : il y a invariance pour toute rotation
d’un angle quelconque : l’intensite ´ du champ ne de ´pend pas de .
Conclusion : les lignes de champ sont des cercles concentriques
autour de l’axe et l’intensite ´ du champ ne de ´pend a ` priori que de r et z :
B
!
ðMÞ ¼ Bðr; zÞ u
!
.
b) Choix d’un contour ferme ´ : un cercle passant par M, de rayon r et
d’axe Oz. Sur ce cercle perpendiculaire a ` l’axe Oz, les variables r et z
sont constantes. On a donc avec l’orientation suivant u
!
:
B
!
:d l
! ¼ Bðr; zÞu
!
:dl u
!
¼ Bðr; zÞdl
þ
cercle
B
!
:d l
! ¼
þ
cercle
Bðr; zÞdl ¼ Bðr; zÞ
þ
cercle
dl ¼ 2prBðr; zÞ
The ´ore `me d’Ampe `re :
þ
cercle
B
!
:d l
! ¼ m o
X
I enlac e ¼ 2prBðr; zÞ ) Bðr; zÞ ¼
m o
P
I enlac e
2pr
De ´termination des courants enlace ´s (voir figure 6.16) :
Si le point M est en dehors du tore, au-dessus ou au-dessous : aucun
courant ne traverse la surface de ´limite ´e par le cercle de rayon r passant
par M. Dans ce cas, le champ magne ´tique est nul.
Si le point M est en dehors du tore mais au niveau du tore alors on
de ´nombre NI courants passant dans le sens positif (sens u
!
z Þ et le me ˆme
nombre dans l’autre sens. Globalement on a un courant enlace ´ nul et le
champ magne ´tique est donc nul.
Par contre si le point M est a ` l’inte ´rieur, on de ´nombre NI courants
enlace ´s traversant la surface s’appuyant sur le contour dans le sens
positif.
M inte ´rieur au tore : BðM int Þ ¼
m o NI
2pr avec b < r < b þ a
M exte ´rieur au tore : BðM ext Þ ¼ 0 avec 0 < r < b ou r > a þ b
On constate que le champ magne ´tique ne de ´pend pas de la coordonne ´e z.
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