Le champ B(x) est une fonction paire : changeons x en –x :
C AO ¼
ð 0
Àr
m o I
2R
1 þ
x
2
R
2
À3=2
dx ¼
ð 0
r
m o I
2R
1 þ
ðÀxÞ
2
R
2
! À3=2
dðÀxÞ
C AO ¼
ð 0
r
À
m o I
2R
1 þ
x
2
R
2
À3=2
dx ¼
ð r
0
m o I
2R
1 þ
x
2
R
2
À3=2
dx ¼ C OC
Donc finalement : C AOC ¼ C AO þ C OC ¼ 2C OC ¼ m o I cos a o
Avec cos a o ¼
r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 þR
2
p
¼
r
r
ffiffiffiffiffiffiffi ffi
1þ
R 2
r 2
p
¼
À
1 þ
R
2
r 2
Á À1=2 ¼ ð1 þ u
2
Þ
À1=2
C AOC ¼
ð C
A
B
!
d l
! ¼ kð1 þ u
2
Þ
À1=2 avec u ¼
r
R
et k ¼ m o I
Avec u ( 1 alors : C AOC ¼ kð1 þ u
2
Þ
À1=2
% kð1 À
u
2
2 Þ ¼
m o Ið1 À
r
2
2R
2 Þ
Circulation sur le demi-cercle
Un de ´placement e ´le ´mentaire sur le demi-cercle (r = constante)
s’e ´crit :
d l
! ¼ rd u
!
. On a donc : dC ¼ B
!
:d l
! ¼ ðB r u
!
r þ B u
!
Þ:rd u
!
dC ¼ B
! :d l
! ¼ rB d ¼
m o
4p
IS sin
r 3 rd ¼
m o I
4p
pR
2
r 2 sin d
) C CDA ¼
m o I
4
R
2
r 2
ð p
0
sin d ¼
m o I
4
R
2
r 2 ½Àcos Š
p
0
) C CDA ¼
m o I
4
R
2
r 2 ðÀcos p þ cos 0Þ ¼
m o I
4
R
2
r 2 ð2Þ
) C CDA ¼
m o I
2
R
2
r 2 ¼ k
u
2
2
avec u ¼
R
r
et k ¼ m o I
c) Pour r ) R :
C AOCDA ¼ C AOC þ C CDA ¼ k 1 À
u
2
2
þ k
u
2
2
¼ m o I
On retrouve bien le re ´sultat obtenu avec le the ´ore `me d’Ampe `re
204
Chapitre 6
l The ´ore `me d’Ampe `re Proprie ´te ´s du champ magne ´tique