f À
L
2
þ h
¼ f À
L
2
þ h
df
dx
À
L
2
þ
h
2
2!
d
2 f
dx 2 À
L
2
þ
h
3
3!
d
3 f
dx 3 À
L
2
::::::
L’e ´tude du champ cre ´e ´ par une bobine a permis de montrer que
(voir cours 5.4.b) :
f ðxÞ et
d
2n f
dx 2n (de ´rive ´e d’ordre 2n pair de f) sont des fonctions paires
d
2nþ1 f
dx 2nþ1 (de ´rive ´e d’ordre (2n + 1) impair de f) sont des fonctions
impaires
On a donc : f ð
L
2 Þ ¼ f ðÀ
L
2 Þ et
d
2n f
dx 2n ðÀ
L
2 Þ ¼
d
2n f
dx 2n ð
L
2 Þ
d
2nþ1 f
dx 2nþ1 À
L
2
¼ À
d
2nþ1 f
dx 2nþ1
L
2
.
En additionnant les deux de ´veloppements limite ´s les termes correspondant aux de ´rive ´es d’ordre impair vont s’e ´liminer : il ne reste que
les fonctions paires. On peut donc e ´crire :
Z ¼
BðPÞ
B o
% 2f
L
2
þ z
2 d
2 f
dx 2
L
2
þ
2z
4
4!
d
4 f
dx 4
L
2
Le passage du point M milieu de O 1 O 2 a ` un point P tre `s voisin
(MP ¼ h
j j) fait subir a ` l’intensite ´ du champ magne ´tique une variation
du 2
e `me ordre par rapport a ` |h|. De plus, l’e ´tude de la fonction f(x) a
montre ´ l’existence d’un point d’inflexion pour u =
1 / 2 (a ` la distance R/2
du centre de la bobine) c’est-a `-dire l’annulation de la de ´rive ´e seconde.
Si on choisit L de sorte que L/2R = u = 1/2 alors :
h
2 d
2 f
dx 2
L
2
¼ x
2 d
2 f
dx 2
R
2
¼ 0
Donc pour L = R : Z ¼
BðzÞ
B o
% 2f ð
R
2 Þ þ
2h
4
4!
d
4 f
dx 4 ð
L
2 Þ
La correction cette fois se fait a ` l’ordre 4 : le champ est dit
hyperstationnaire autour du milieu M et l’intensite ´ est pratiquement
constante :
BðhÞ % 2B o f
R
2
¼ 2:0; 71:B o ¼ 1; 42:B o
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Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants