C 1 ¼
þ
P2spire
Rðu
!
r ^ u
!
Þdl ¼ Rðu
!
r ^ u
!
Þ
þ
P2spire
dl ¼ Ru
!
z
þ
P2spire
dl
La dernie `re inte ´grale correspond au pe ´rime `tre de la spire : addition
des longueurs e ´le ´mentaires dl lorsque le point P fait un tour complet.
On peut aussi e ´crire :
þ
P2spire
dl ¼
ð 2p
0
Rd ¼ 2pR
Il faut bien faire la diffe ´rence entre les deux expressions suivantes :
þ
P2spire
dl
! ¼ 0
!
et
þ
P2spire
dl ¼
ð 2p
0
Rd ¼ 2pR
dl
! ^ PO
ƒ! est un vecteur dirige ´ suivant u
!
z et dont la norme correspond
a ` l’aire du paralle ´logramme forme ´ par dl et OP (voir encart 4.1 le produit
vectoriel) ou bien encore au double de la surface e ´le ´mentaire du triangle
forme ´ par dl et PO :
dl
! ^ PO
ƒ! ¼ 2dS
! ¼ 2dSu
!
z
L’inte ´grale sur toute la spire donne alors deux fois sa surface :
C 1 ¼
þ
P2spire
ðdl
! ^ PO
ƒ! Þ ¼ 2
þ
P2spire
dS
! ¼ 2pR
2 u
!
z
Finalement le champ magne ´tique a pour expression :
B
! ðMÞ ¼
m o
4p
I
PM
3
C 1 ¼
m o I
4p
2pR
PM
3
Ru
!
z ¼
m o I
2
R
2
PM
3
u
!
z
B
! ðMÞ ¼
m o I
2R
R
3
PM
3
u
!
z
ð5:9Þ
En utilisant le the ´ore `me de Pythagore on a :
PM
2
¼ R
2
þ z
2
) PM
3
¼ ðR
2
þ z
2
Þ
3
2
=
R
3
PM
3
¼
R
3
ðR
2
þ z 2 Þ
3=2
¼
R
3
R
3
1
ð1 þ
z 2
R
2 Þ
3=2
¼ 1 þ
z
2
R
2
À 3= 2
5.4
l Cas de la spire circulaire et des bobines parcourues par un courant
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