magne ´tique peut s’e ´crire sous la forme d’une somme de deux
inte ´grales :
B
! ðMÞ ¼
m o
4p
I
PM
3
þ
P2spire
dl
! ^ PO
ƒ! þ
þ
P2spire
dl
! ^ OM
À !
0
B
@
1
C
A
¼
m o
4p
I
PM
3
ðC 1 þ C 2 Þ
avec : C 1 ¼
Þ
P2spire ðdl
! ^ PO
ƒ!
Þ et C 2 ¼
Þ
P2spire ðdl
! ^ OM
À !
Þ
Dans la deuxie `me inte ´grale, le vecteur OM
ƒ ƒ! ¼ zu
!
z est inde ´pendant
de la variable d’inte ´gration repe ´rant le point P sur la spire. Ce vecteur
peut sortir du symbole inte ´grale et C 2 s’e ´crit alors :
C 2 ¼
þ
P2spire
ðdl
! ^ OM
ÀÀ! Þ ¼
þ
P2spire
dl
!
0
B
@
1
C
A ^ OM
À !
Le calcul de cette inte ´grale revient a ` additionner des vecteurs
e ´le ´mentaires dl
!
c’est a ` dire, en utilisant la relation de Chasles, de mettre
bout a ` bout ces vecteurs pour obtenir le vecteur re ´sultant. Par exemple, si
on passe d’un point initial P P 1 a ` un point final P P 2 , on a :
ð PP 2
PP 1
dl
! ¼ P 1 P 2
ƒƒ!
Dans le cas de la spire le point P fait un tour complet c’est a ` dire que
le point initial est confondu avec le point final P 1 P 2 :
þ
P2spire
dl
! ¼
ð PP 1
PP 1
dl
! ¼ 0
!
Il ne reste donc que l’inte ´grale C 1 a ` de ´terminer. En utilisant les
vecteurs de la base des coordonne ´es polaires permettant de repe ´rer
le point P (figure 5.10), on a :
OP
À ! ¼ R u
!
r et dl
! ¼ dl u
!
¼ Rd u
!
soit :
C 1 ¼
þ
P2spire
ðdl
! ^ PO
À !
Þ ¼
þ
P2spire
ð OP
À ! ^ dl u
!
Þ ¼
þ
P2spire
ðRu
!
r ^ dlu
!
Þ
162
Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants