Le sinus d’un angle est e ´gal au cosinus de son comple ´mentaire :
sin ¼ cosð
p
2 À Þ donc sinðPH; PMÞ ¼ cosðMP; MHÞ. En appelant
a l’angle entre MP et MH (voir figure 5.8) on a finalement :
dl
! ^ PM
ƒ! ¼ dz:PM:cos a u
!
On introduit ici une nouvelle variable a qui repe `re, comme la
variable z, le point P.
Choix de la variable d’inte ´ gration
Les variables z et a ne sont pas inde ´pendantes. On a la relation :
tan a ¼
z
r
ð5:7Þ
Une petite variation dz de la variable z entraı ˆne une variation d a de
la variable a avec la relation diffe ´rentielle :
dðtan aÞ ¼ d
z
r
) ð1 þ tan
2
aÞda ¼
da
cos 2 a
¼
dz
r
Dans l’expression (5.6) la grandeur PM
3 qui varie lorsque le point P
bouge le long du fil, peut s’exprimer en fonction de la variable z ou a.
Le triangle HPM e ´tant rectangle en H le the ´ore `me de Pythagore
donne : PM
2
¼ r
2
þ z
2
) PM
3
¼ ðr
2
þ z
2
Þ
3
2
=
On a aussi : cos a ¼
r
PM )
1
PM
3 ¼
cos
3 a
r 3
Expression du champ e ´ le ´ mentaire en fonction de z
(z A 1 z z A 2 )
dB
!
P ðMÞ ¼
m o I
4p
dl
! ^
PM
PM
3
ƒƒ!
¼
m o I
4p
rdz
ðr 2 þ z 2 Þ
3=2
u
!
Cette expression n’est pas imme ´diate a ` inte ´grer et ne ´cessite un changement de variable.
Expression du champ e ´ le ´ mentaire en fonction
de a (a 1 a a 2 )
Avec dz ¼
rd a
cos 2 a et
1
PM
3 ¼
cos
3 a
r 3 on obtient
dB
!
P ðMÞ ¼
m o I
4p
dl
! ^ PM
ƒ!
PM
3
¼
m o I
4p
PMdz
PM
3
cos a u
!
¼
m o I
4p
dz
PM
2
cos a u
!
158
Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants