Si les courants sont surfaciques (volume d’e ´paisseur ne ´gligeable) le vecteur
densite ´ de courant est surfacique que l’on note j
!
S (voir figure 5.3).
L’intensite ´ I s’obtient alors par la relation : I ¼
Ð
P2L j S dL. Si le vecteur
densite ´ de courant est uniforme sur la largeur L alors on a I = j S .L
L’expression du champ magne ´tique s’obtient en inte ´grant sur la
surface de la nappe de courant. On peut e ´crire :
B
! ðMÞ ¼
m o
4p
ð
P2nappe
j
!
S ðPÞ ^ u
!
PM
PM
2
dS
ð5:5Þ
5.2 PROPRIE ´ TE ´ S DE SYME ´ TRIE DU CHAMP MAGNE ´ TIQUE
Tout comme pour le champ e ´lectrostatique, la connaissance des syme ´tries et invariances que pre ´sentent les sources permet de de ´duire
certaines caracte ´ristiques du champ re ´sultant.
D’apre `s la loi de Biot et Savart le champ magne ´tique e ´le ´mentaire est
proportionnel a ` un produit vectoriel ( j
! ðPÞ ^ u
!
PM dans l’e ´quation 5.4
ou Idl
! ^ u
!
PM dans l’e ´quation 5.3). L’e ´tude du comportement du produit vectoriel pour diffe ´rentes syme ´tries permet de de ´duire les
proprie ´te ´s de syme ´trie que pre ´sente le champ magne ´tique re ´sultant.
Ces proprie ´te ´s sont diffe ´rentes de celles du champ e ´lectrostatique
comme cela a e ´te ´ signale ´ dans la partie 2.2 : le champ magne ´tique
est qualifie ´ de champ axial alors que le champ e ´lectrostatique est un
champ polaire.
Plan de syme ´ trie (p s ) ou plan miroir pour les courants
La figure 5.4 montre comment le produit vectoriel se transforme par
rapport a ` un plan de syme ´trie. On constate qu’un plan de syme ´trie se
comporte comme un plan d’anti-syme ´trie pour le produit vectoriel
donc pour le champ magne ´tique.
Un plan de syme ´trie pour les courants ( figures 5.4 et 5.5) :
ä transforme la composante du vecteur champ magne ´tique paralle `le
au plan en son oppose ´ : B S== ¼ ÀB ==
ä laisse inchange ´e la composante du vecteur champ magne ´tique perpendiculaire au plan : B S? ¼ B ?
j S (P)
→
P
dl
L
dL
Nappe de
courant
Figure 5.3 Nappe de courant et densite ´ de courant surfacique.
152
Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants
densite ´ de courant est surfacique que l’on note j
!
S (voir figure 5.3).
L’intensite ´ I s’obtient alors par la relation : I ¼
Ð
P2L j S dL. Si le vecteur
densite ´ de courant est uniforme sur la largeur L alors on a I = j S .L
L’expression du champ magne ´tique s’obtient en inte ´grant sur la
surface de la nappe de courant. On peut e ´crire :
B
! ðMÞ ¼
m o
4p
ð
P2nappe
j
!
S ðPÞ ^ u
!
PM
PM
2
dS
ð5:5Þ
5.2 PROPRIE ´ TE ´ S DE SYME ´ TRIE DU CHAMP MAGNE ´ TIQUE
Tout comme pour le champ e ´lectrostatique, la connaissance des syme ´tries et invariances que pre ´sentent les sources permet de de ´duire
certaines caracte ´ristiques du champ re ´sultant.
D’apre `s la loi de Biot et Savart le champ magne ´tique e ´le ´mentaire est
proportionnel a ` un produit vectoriel ( j
! ðPÞ ^ u
!
PM dans l’e ´quation 5.4
ou Idl
! ^ u
!
PM dans l’e ´quation 5.3). L’e ´tude du comportement du produit vectoriel pour diffe ´rentes syme ´tries permet de de ´duire les
proprie ´te ´s de syme ´trie que pre ´sente le champ magne ´tique re ´sultant.
Ces proprie ´te ´s sont diffe ´rentes de celles du champ e ´lectrostatique
comme cela a e ´te ´ signale ´ dans la partie 2.2 : le champ magne ´tique
est qualifie ´ de champ axial alors que le champ e ´lectrostatique est un
champ polaire.
Plan de syme ´ trie (p s ) ou plan miroir pour les courants
La figure 5.4 montre comment le produit vectoriel se transforme par
rapport a ` un plan de syme ´trie. On constate qu’un plan de syme ´trie se
comporte comme un plan d’anti-syme ´trie pour le produit vectoriel
donc pour le champ magne ´tique.
Un plan de syme ´trie pour les courants ( figures 5.4 et 5.5) :
ä transforme la composante du vecteur champ magne ´tique paralle `le
au plan en son oppose ´ : B S== ¼ ÀB ==
ä laisse inchange ´e la composante du vecteur champ magne ´tique perpendiculaire au plan : B S? ¼ B ?
j S (P)
→
P
dl
L
dL
Nappe de
courant
Figure 5.3 Nappe de courant et densite ´ de courant surfacique.
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Chapitre 5
l Champ magne ´tique cre ´e ´ par des courants