Pour obtenir le champ total en un point M il faut ajouter vectoriellement la contribution de tous les e ´le ´ments de courant constituant le
circuit. On a alors :
B
! ðMÞ ¼
ð
P2ðCÞ
dB
!
P ðMÞ ¼
ð
P2ðCÞ
m o
4p
Idl
! ^ u
!
PM
PM
2
ð5:3Þ
Les outils du calcul inte ´gral peuvent alors e ˆtre exploite ´s pour
de ´terminer l’expression finale du champ magne ´tique cre ´e ´ par un
conducteur filiforme.
b) Ge ´ ne ´ ralisation de la loi de Biot et Savart
L’e ´le ´ment de courant Idl
!
intervenant dans l’expression du champ
magne ´tique correspond en fait a ` un cylindre de section e ´le ´mentaire
dS et de longueur e ´le ´mentaire dl (voir figure 5.2). Si j
! ðPÞ est le vecteur
densite ´ de courant on a (voir encart 4.2) :
I ¼ j
! :dS
! ¼ jðPÞ:dS
Les vecteurs j
! , dS
! et dl
!
ont tous la me ˆme direction. On a alors :
Idl
! ¼ jðPÞdSdl
! ¼ j
! ðPÞdSdl ¼ j
! ðPÞdV
ou ` dV ¼ dSdl repre ´sente le volume e ´le ´mentaire autour du point P et
pour lequel le vecteur densite ´ de courant est j
! ðPÞ
La loi de Biot et Savart se ge ´ne ´ralise donc pour une distribution de
courants quelconque caracte ´rise ´e par un vecteur densite ´ de courant j
!
de ´fini dans un volume V :
B
! ðMÞ ¼
ð
P2V
m o
4p
j
! ðPÞdV ^ u
!
PM
PM
2
¼
m o
4p
ð
P2V
j
! ðPÞ ^ u
!
PM
PM
2
dV ð5:4Þ
dS
dl
j(P)
→
P
→
dl
P
+
I
(C)
Figure 5.2 Portion e ´le ´mentaire de courant et densite ´ de courant.
5.1
l Loi de Biot et Savart
151