l’espace. Dans le plan xOz, ce champ ne de ´pend que de l’abscisse x et
a pour expression (voir chapitre suivant) :
B
!
ðxÞ ¼
m o I
2px
u
!
y ðpourx > 0Þ
On fait circuler dans le cadre, un courant d’intensite ´ i = 5A dans le sens
NMQP.
De ´terminer la re ´sultante F
!
des forces magne ´tiques s’exer¸ cant sur le
cadre.
SOLUTIONS
4.1 Force de Lorentz
Dans un re ´fe ´rentiel galile ´en, on conside `re une particule e ´le ´mentaire de
charge q, de masse m, de vitesse v
! place ´e dans un champ magne ´tique
uniforme B
! ¼ Bu
!
z .
On suppose qu’a ` t = 0, la vitesse est perpendiculaire au vecteur
champ magne ´tique : v
!
ð0Þ ¼ v
!
o ¼ v o u
!
x ?B
!
La seule force agissant sur la particule est la force de Lorentz :
f
! ¼ q v
! ^ B
!
(le poids est ne ´gligeable devant cette force)
L’application du the ´ore `me de l’e ´nergie cine ´tique donne :
dE C ¼ dWð f
!
Þ ¼ 0 ) E C ¼
1
2
mv
2
¼ cste ) v ¼ v o ¼ cste
La force de Lorentz ne travaillant pas, le mouvement est donc
uniforme.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique :
f
! ¼ q v
! ^ B
! ¼ ma
! ) a
!
?B
! ¼ Bu
!
z et a
!
? v
!
Le vecteur acce ´le ´ration a
! est perpendiculaire au champ magne ´tique
( a
!
?B
! ¼ Bu
!
z ). On en de ´duit que la composante de l’acce ´le ´ration
suivant u
!
z est nulle. Cela implique que la composante suivant u
!
z de
la vitesse est constante. Avec les conditions initiales v
!
ð0Þ ¼ v
!
o ¼
v o u
!
x cette constante est donc nulle.
Aussi, le mouvement se fait dans un plan perpendiculaire au vecteur
champ magne ´tique et contenant v
!
o .
a
!
? v
! ) L’acce ´le ´ration est normale a ` la trajectoire. Dans le repe `re
de Frenet, on a :
a N ¼
v
2
o
r
¼
q v
! ^ B
!
m
¼
q
j jv o B
m
) r ¼
mv o
q
j jB
¼ cste ¼ R :
146
Chapitre 4
l Le champ magne ´tique
a pour expression (voir chapitre suivant) :
B
!
ðxÞ ¼
m o I
2px
u
!
y ðpourx > 0Þ
On fait circuler dans le cadre, un courant d’intensite ´ i = 5A dans le sens
NMQP.
De ´terminer la re ´sultante F
!
des forces magne ´tiques s’exer¸ cant sur le
cadre.
SOLUTIONS
4.1 Force de Lorentz
Dans un re ´fe ´rentiel galile ´en, on conside `re une particule e ´le ´mentaire de
charge q, de masse m, de vitesse v
! place ´e dans un champ magne ´tique
uniforme B
! ¼ Bu
!
z .
On suppose qu’a ` t = 0, la vitesse est perpendiculaire au vecteur
champ magne ´tique : v
!
ð0Þ ¼ v
!
o ¼ v o u
!
x ?B
!
La seule force agissant sur la particule est la force de Lorentz :
f
! ¼ q v
! ^ B
!
(le poids est ne ´gligeable devant cette force)
L’application du the ´ore `me de l’e ´nergie cine ´tique donne :
dE C ¼ dWð f
!
Þ ¼ 0 ) E C ¼
1
2
mv
2
¼ cste ) v ¼ v o ¼ cste
La force de Lorentz ne travaillant pas, le mouvement est donc
uniforme.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique :
f
! ¼ q v
! ^ B
! ¼ ma
! ) a
!
?B
! ¼ Bu
!
z et a
!
? v
!
Le vecteur acce ´le ´ration a
! est perpendiculaire au champ magne ´tique
( a
!
?B
! ¼ Bu
!
z ). On en de ´duit que la composante de l’acce ´le ´ration
suivant u
!
z est nulle. Cela implique que la composante suivant u
!
z de
la vitesse est constante. Avec les conditions initiales v
!
ð0Þ ¼ v
!
o ¼
v o u
!
x cette constante est donc nulle.
Aussi, le mouvement se fait dans un plan perpendiculaire au vecteur
champ magne ´tique et contenant v
!
o .
a
!
? v
! ) L’acce ´le ´ration est normale a ` la trajectoire. Dans le repe `re
de Frenet, on a :
a N ¼
v
2
o
r
¼
q v
! ^ B
!
m
¼
q
j jv o B
m
) r ¼
mv o
q
j jB
¼ cste ¼ R :
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Chapitre 4
l Le champ magne ´tique