Pour deux vecteurs coline ´aires on a a
! ^ la
! ¼ 0
!
la
! ^ mb
! ¼ lð a
! ^ mb
!
Þ ¼ lmða
! ^ b
!
Þ ¼ ma
! ^ lb
!
Attention : ða
! ^ b
!
Þ ¼ Àðb
! ^ a
!
Þ (me ˆme norme mais sens
oppose ´)
Remarque : u
!
x ^ u
!
y ¼ u
!
z ; u
!
y ^ u
!
z ¼ u
!
x ; u
!
z ^ u
!
x ¼ u
!
y
Le produit vectoriel de 2 vecteurs de base pris dans l’ordre
( u
!
x ; u
!
y ; u
!
z ; u
!
x ; u
!
y
ou u
!
r ; u
!
; u
!
z ; u
!
r ; u
!
. . .) donne le
troisie `me. Si l’ordre n’est pas respecte ´ on obtient l’oppose ´ du
troisie `me vecteur.
Exemples : u
!
z ^ u
!
r ¼ u
!
ou u
!
z ^ u
!
y ¼ Àu
!
x
b) La force de Lorentz
Si une particule de charge e ´lectrique q se de ´place a ` la vitesse v
! dans un
re ´fe ´rentiel dans lequel le champ magne ´tique vaut B
!
la force qu’elle
subit appele ´e force de Lorentz s’e ´crit :
f
! ¼ q v
! ^ B
!
ð4:3Þ
ä Cette force est perpendiculaire au vecteur vitesse et au vecteur
champ magne ´tique : elle est donc perpendiculaire au plan de ´fini
par les vecteurs vitesse v
! et champ magne ´tique B
!
ä L’ensemble (q v
!
; B
!
; f
!
) forme un trie `dre direct comme ( u
!
x ; u
!
y ; u
!
z ) :
la re `gle des trois doigts de la main droite par exemple permet de
retrouver le sens et la direction de cette force (voir encart 4.1 le
produit vectoriel).
ä Changer le signe de la charge, le sens du vecteur vitesse ou le sens du
champ magne ´tique change le sens de la force
ä La force de Lorentz est une force qui ne travaille pas : la force est
toujours perpendiculaire au vecteur vitesse donc au de ´placement.
dW ¼ f
!
:d l
! ¼ f
! : v
!
dt ¼ qð v
! ^ B
!
Þ v
!
dt ¼ 0
La force de Lorentz est une force qui existe a ` l’e ´chelle microscopique car elle
agit sur des particules. La force de Laplace agit a ` l’e ´chelle des conducteurs
c’est-a `-dire a ` notre e ´chelle macroscopique. Il faut donc faire attention a ` ne
pas confondre ces deux forces.
c) Lien entre Force de Laplace et Force de Lorentz
On cherche a ` de ´terminer l’action d’un champ magne ´tique B
!
ðMÞ sur un
e ´le ´ment d’un conducteur filiforme en M, de longueur dl, de section
droite ds et parcouru par un courant I.
4.2
l Les forces magne ´tiques
135
! ^ la
! ¼ 0
!
la
! ^ mb
! ¼ lð a
! ^ mb
!
Þ ¼ lmða
! ^ b
!
Þ ¼ ma
! ^ lb
!
Attention : ða
! ^ b
!
Þ ¼ Àðb
! ^ a
!
Þ (me ˆme norme mais sens
oppose ´)
Remarque : u
!
x ^ u
!
y ¼ u
!
z ; u
!
y ^ u
!
z ¼ u
!
x ; u
!
z ^ u
!
x ¼ u
!
y
Le produit vectoriel de 2 vecteurs de base pris dans l’ordre
( u
!
x ; u
!
y ; u
!
z ; u
!
x ; u
!
y
ou u
!
r ; u
!
; u
!
z ; u
!
r ; u
!
. . .) donne le
troisie `me. Si l’ordre n’est pas respecte ´ on obtient l’oppose ´ du
troisie `me vecteur.
Exemples : u
!
z ^ u
!
r ¼ u
!
ou u
!
z ^ u
!
y ¼ Àu
!
x
b) La force de Lorentz
Si une particule de charge e ´lectrique q se de ´place a ` la vitesse v
! dans un
re ´fe ´rentiel dans lequel le champ magne ´tique vaut B
!
la force qu’elle
subit appele ´e force de Lorentz s’e ´crit :
f
! ¼ q v
! ^ B
!
ð4:3Þ
ä Cette force est perpendiculaire au vecteur vitesse et au vecteur
champ magne ´tique : elle est donc perpendiculaire au plan de ´fini
par les vecteurs vitesse v
! et champ magne ´tique B
!
ä L’ensemble (q v
!
; B
!
; f
!
) forme un trie `dre direct comme ( u
!
x ; u
!
y ; u
!
z ) :
la re `gle des trois doigts de la main droite par exemple permet de
retrouver le sens et la direction de cette force (voir encart 4.1 le
produit vectoriel).
ä Changer le signe de la charge, le sens du vecteur vitesse ou le sens du
champ magne ´tique change le sens de la force
ä La force de Lorentz est une force qui ne travaille pas : la force est
toujours perpendiculaire au vecteur vitesse donc au de ´placement.
dW ¼ f
!
:d l
! ¼ f
! : v
!
dt ¼ qð v
! ^ B
!
Þ v
!
dt ¼ 0
La force de Lorentz est une force qui existe a ` l’e ´chelle microscopique car elle
agit sur des particules. La force de Laplace agit a ` l’e ´chelle des conducteurs
c’est-a `-dire a ` notre e ´chelle macroscopique. Il faut donc faire attention a ` ne
pas confondre ces deux forces.
c) Lien entre Force de Laplace et Force de Lorentz
On cherche a ` de ´terminer l’action d’un champ magne ´tique B
!
ðMÞ sur un
e ´le ´ment d’un conducteur filiforme en M, de longueur dl, de section
droite ds et parcouru par un courant I.
4.2
l Les forces magne ´tiques
135