avec O 1 (ou O 2 ) angle solide sous lequel q 1 en O (ou q 2 en A) voit le
disque de rayon R o et de centre D.
L’encart 3.3 donne l’expression de l’angle solide en fonction de
l’angle du co ˆne qui s’appuie sur le contour du disque. On aura :
A
O
q 1
q 2
R o
θ 1
θ 2
d
a
O 1 ¼ 2pð1 À cosy 1 Þ avec cosy 1 ¼
d
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
d
2
þ R
2
o
q
O 2 ¼ 2pð1 À cosy 2 Þ avec cosy 2 ¼
d À a
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ðd À aÞ
2
þ R
2
o
q
F ¼
1
2e o
q 1 ð1 À cosy 1 Þ þ q 2 ð1 À cosy 2 Þ
½
Š
3.3 Partie A a) r c ¼
Q
Vol ¼
À3e
4pR
3
o
b) La syme ´trie e ´tant sphe ´rique, les surfaces e ´quipotentielles sont
des sphe `res et le champ e ´lectrostatique est radial. Pour de ´terminer le
champ e ´lectrostatique a ` l’aide du the ´ore `me de Gauss, on choisit les
deux surfaces ferme ´es repre ´sentatives des points a ` l’inte ´rieur et a `
l’exte ´rieur de la sphe `re charge ´e (voir cours 3.3 a et tableau 3.1).
Si le rayon de la surface ferme ´e est r, le flux du champ
e ´lectrostatique est F ¼ EðrÞ:4pr
2 .
La quantite ´ de charges a ` l’inte ´rieur de la surface ferme ´e est
r c
4pr
3
3 ) Eðr < R o Þ ¼
r c r
3e o
A ` l’exte ´rieur de la sphe `re charge ´e, le champ est donne ´ par :
Eðr > R o Þ ¼
r c R
3
o
3e o r 2
c) Le potentiel e ´lectrostatique est de ´duit a ` partir de l’expression du
champ e ´lectrostatique :VðrÞ ¼ À
Ð ~ EðrÞ:d~ r, qui permet d’avoir :
r > R o : V r
ð Þ ¼
Àe
4pe o r
; r < R o : VðrÞ ¼ À
r c r
2
6e o
þ K
La continuite ´ du potentiel en r = R o permet de de ´terminer la
constante d’inte ´gration K.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss