constitue ´ d’un noyau de charge +e place ´ au centre d’une sphe `re de
rayon R o contenant les charges avec la distribution r c de la partie A.
Quel sont le champ et le potentiel e ´lectrostatiques a ` l’exte ´rieur de la
sphe `re? Le re ´sultat e ´tait-il pre ´visible sans calcul ?
Partie C
Soient deux plans paralle `les charge ´s avec des densite ´s surfaciques
+s et Às. La diffe ´rence de potentiel entre les deux plans est constante
e ´gale a ` U.
a) Exprimer le champ e ´lectrostatique entre les plans.
b) Sachant que l’espacement entre les armatures est d = 3.10
À3 m,
de ´terminer U pour que le champ entre les plans soit e ´gal a ` E o = 10
6
Volt.m
À1 . Quelle est la valeur de la densite ´ de charges ?
c) On introduit l’atome de la partie B dans l’espace entre les plans,
de ´crire qualitativement (sans calcul) les effets du champ E o sur
l’atome. Que peut-on dire des effets e ´lectriques (champ et potentiel)
a ` l’exte ´rieur de l’atome?
SOLUTIONS
3.1 a) E ´ tats des charges: L’e ´lectrode centrale relie ´e au po ˆle positif
d’un ge ´ne ´rateur de tension, se charge positivement en surface. Pour
l’e ´lectrode qui l’entoure, sa surface interne va e ˆtre charge ´e
ne ´gativement. Par contre la surface externe ne porte aucune charge
du fait de la liaison a ` la terre.
Champ entre e ´lectrodes : En ne tenant pas compte des effets de
bords, les e ´lectrodes et leur distribution de charges e ´tant a ` syme ´trie
cylindrique, on peut de ´duire que les surfaces e ´quipotentielles
posse `dent cette syme ´trie. Pour calculer le champ e ´lectrostatique entre
les e ´lectrodes, on choisit une surface cylindrique ferme ´e, de longueur l
et coaxiale avec l’e ´lectrode centrale. Le flux du champ e ´lectrostatique
a ` travers les bases du cylindre ferme ´e e ´tant nul, il reste uniquement
a ` e ´valuer le flux a ` travers une surface late ´rale de longueur l et de
rayon r sur laquelle la valeur du champ est uniforme: F ¼ E:2prl
(voir cours 3.3)
D’apre `s le the ´ore `me de Gauss, F ¼
Q l
e o
, on en de ´duit que le champ
e ´lectrostatique est donne ´ par : ~ EðrÞ ¼
Q l
2pe o lr
~ u r
b) La relation locale dV ¼ À ~ E:d ~ l ¼ ÀEdr donne par inte ´gration
une fonction potentiel e ´lectrostatique :
VðrÞ ¼
Q l
2pe o l
ln r þ K
Solutions
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rayon R o contenant les charges avec la distribution r c de la partie A.
Quel sont le champ et le potentiel e ´lectrostatiques a ` l’exte ´rieur de la
sphe `re? Le re ´sultat e ´tait-il pre ´visible sans calcul ?
Partie C
Soient deux plans paralle `les charge ´s avec des densite ´s surfaciques
+s et Às. La diffe ´rence de potentiel entre les deux plans est constante
e ´gale a ` U.
a) Exprimer le champ e ´lectrostatique entre les plans.
b) Sachant que l’espacement entre les armatures est d = 3.10
À3 m,
de ´terminer U pour que le champ entre les plans soit e ´gal a ` E o = 10
6
Volt.m
À1 . Quelle est la valeur de la densite ´ de charges ?
c) On introduit l’atome de la partie B dans l’espace entre les plans,
de ´crire qualitativement (sans calcul) les effets du champ E o sur
l’atome. Que peut-on dire des effets e ´lectriques (champ et potentiel)
a ` l’exte ´rieur de l’atome?
SOLUTIONS
3.1 a) E ´ tats des charges: L’e ´lectrode centrale relie ´e au po ˆle positif
d’un ge ´ne ´rateur de tension, se charge positivement en surface. Pour
l’e ´lectrode qui l’entoure, sa surface interne va e ˆtre charge ´e
ne ´gativement. Par contre la surface externe ne porte aucune charge
du fait de la liaison a ` la terre.
Champ entre e ´lectrodes : En ne tenant pas compte des effets de
bords, les e ´lectrodes et leur distribution de charges e ´tant a ` syme ´trie
cylindrique, on peut de ´duire que les surfaces e ´quipotentielles
posse `dent cette syme ´trie. Pour calculer le champ e ´lectrostatique entre
les e ´lectrodes, on choisit une surface cylindrique ferme ´e, de longueur l
et coaxiale avec l’e ´lectrode centrale. Le flux du champ e ´lectrostatique
a ` travers les bases du cylindre ferme ´e e ´tant nul, il reste uniquement
a ` e ´valuer le flux a ` travers une surface late ´rale de longueur l et de
rayon r sur laquelle la valeur du champ est uniforme: F ¼ E:2prl
(voir cours 3.3)
D’apre `s le the ´ore `me de Gauss, F ¼
Q l
e o
, on en de ´duit que le champ
e ´lectrostatique est donne ´ par : ~ EðrÞ ¼
Q l
2pe o lr
~ u r
b) La relation locale dV ¼ À ~ E:d ~ l ¼ ÀEdr donne par inte ´gration
une fonction potentiel e ´lectrostatique :
VðrÞ ¼
Q l
2pe o l
ln r þ K
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