e o : permittivite ´ absolue du milieu (air ou gaz) entre les e ´lectrodes
Q l : Charge e ´lectrique porte ´e par une longueur l de l’e ´lectrode centrale.
b) A ` partir de l’expression du champ e ´lectrostatique en de ´duire que
la diffe ´rence de potentiel V c entre les deux e ´lectrodes est donne ´e par :
V c ¼
Q l
2pe o l
ln
R e
R c
c) Le fonctionnement optimal du dispositif ne ´cessite au voisinage
imme ´diat de l’e ´lectrode centrale un champ e ´lectrostatique
Eðr % R c Þ ! 3:10
6 V:m
À1 . En de ´duire le potentiel minimal de
l’e ´lectrode centrale (V
min:
c ).
A.N. Calculer V
min:
c
pour R c = 2 mm , R e = 200 mm et 36 pe o ¼ 10
À9 u.s.i.
d) Lorsque l’appareil a fonctionne ´ pendant quelques mois,
l’e ´lectrode centrale se couvre d’une couche isolante d’e ´paisseur e et
de permittivite ´ die ´lectrique relative e r ( figure 3.25.c). En utilisant les
re ´sultats de la question a), donner l’expression du champ
e ´lectrostatique ~ EðrÞ lorsque :
ä R c < r < R c þ e
ä R c þ e < r < R e
e) En de ´duire la diffe ´rence de potentiel entre les deux e ´lectrodes
V c ¼ VðR c Þ À VðR e Þ, en fonction de Q; e o ; e r ; l; R c ; e; R e .
f) Le fonctionnement optimal de l’appareil ne ´cessite un champ
e ´lectrostatique ~ Eðr % R c þ eÞ ! 3:10
6
V:m
À1 , quelle est alors la
valeur minimale du potentiel de l’e ´lectrode centrale V
0
c
min ?
Application nume ´rique : calculer V
0
c
min pour e r = 3 et e = 1mm..
3.2 Calcul de flux et the ´ ore ` me de Gauss
L’espace est rapporte ´ a ` un trie `dre d’axes Oxyz munis de vecteurs
orthonorme ´s ð~ u x ;~ u y ;~ u z Þ. Deux charges ponctuelles positives q 1 et q 2
sont place ´es sur l’axe Ox en O(0, 0, 0) et en A(a, 0, 0) ( figure 3.26).
V c
+
z’
z
R c
R c
R e
R e
R c +e
(b)
(c)
Figure 3.25 b) Sche ´ma d’une cellule avec l’alimentation des e ´lectrodes et vue
en coupe perpendiculaire a ` l’axe z
0 z. c) E ´ lectrode centrale recouverte d’un isolant
d’e ´paisseur e.
Exercices
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