Pour z < e/2 on a ~ E 2 z
ð Þ ¼ ~ E
À
2 ¼ À
s 2
2e o
~ u z ¼ À
s o
2e o
~ u z ¼ ~ E
þ
1
ä Superposition des champs (voir figure 3.23)
Pour Àe/2 < e/2 < z, ~ E ¼ ~ E
þ
1 þ ~ E
þ
2 ¼ À
s o
2e o
~ u z þ
s o
2e o
~ u z ¼ 0
!
Pour Àe/2 < z < e/2, ~ E ¼ ~ E
þ
1 þ ~ E
À
2 ¼ À
s o
2e o
~ u z À
s o
2e o
~ u z ¼
À
s o
e o
~ u z
Pour z < Àe/2 < e/2, ~ E ¼ ~ E
À
1 þ ~ E
À
2 ¼
s o
2e o
~ u z À
s o
2e o
~ u z ¼ 0
!
Le champ est nul en dehors des plans et est uniforme entre les deux
plans.
Calcul du potentiel
Par de ´finition : dVðMÞ ¼ À ~ EðMÞ:d ~ l
Pour un point M entre les deux plans (Àe/2 < z < e/2) :
dVðMÞ ¼ À
À
s o
e o
~ u z
:dz~ u z ¼
s o
e o
d z )
dV
dz
¼
s o
e o
) VðzÞ
¼
s o
e o
z þ V o
En choisissant par exemple le potentiel nul en z = 0 :
VðzÞ ¼
s o
e o
z
Pour un point M en dehors des plans (Àe/2 < e/2 < z)
dVðMÞ ¼ 0 ) V
þ
¼ V 2
e/2
-e/2
0
z
o
σ
+
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
1
−
=
+
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
2 =
+
0
2
1
→
→
→
=
+
+
+
E
E
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
1 =
−
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
1
−
=
+
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
2
−
=
−
z
o
o u
E
→
→
ε
σ
2
2
−
=
−
0
2
1
→
→
→
=
+
−
−
E
E
z
o
o u
E
E
→
→
→
ε
σ
−
=
+
−
+
2
1
o
σ
−
Figure 3.23 Application du principe de superposition pour la de ´termination du
champ cre ´e ´ par deux plans avec des densite ´s surfaciques de charges oppose ´es.
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
117