Le plan charge ´ e ´tant plan de syme ´trie on a VðzÞ ¼ VðÀzÞ. On en
de ´duit l’expression du potentiel pour tout z :
VðzÞ ¼ ÀE o z
j j þ V o
La figure 2.25 (chapitre 2.3c) est une repre ´sentation graphique des
re ´sultats obtenus (avec V o ¼ 0).
Ce re ´sultat peut e ˆtre utilise ´ pour des plaques charge ´es de dimensions finies.
Si on se place suffisamment pre `s du centre de la plaque, on peut la conside ´rer comme infinie : cela revient a ` ne ´gliger les effets de bords.
e) Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s par deux
plans paralle ` les portant des charges oppose ´ es
On conside `re deux plans (P 1 ) et (P 2 ) paralle `les, se ´pare ´es d’une distance
e, perpendiculaire a ` un axe z
0 z (voir figure 3.22), respectivement
repe ´re ´s par leur cote z 1 = Àe/2 et z 2 = e/2 et dont la densite ´ surfacique
de charges est s 1 ¼ Às o et s 2 ¼ s o (avec s o > 0)
Pour obtenir le champ e ´lectrostatique il est commode d’utiliser ici le
principe de superposition : le champ re ´sultant est la somme des champs
cre ´e ´s par chacun des plans. En reprenant les re ´sultats obtenus au d)
on peut e ´crire :
ä Champ cre ´e ´ par (P 1 ) :
Pour z > Àe/2 on a ~ E 1 z
ð Þ ¼ ~ E
þ
1 ¼
s 1
2e o
~ u z ¼ À
s o
2e o
~ u z
Pour z < Àe/2 on a ~ E 1 ¼ ~ E
À
1 ¼ À
s 1
2e o
~ u z ¼
s o
2e o
~ u z ¼ À ~ E
þ
1
ä Champ cre ´e ´ par (P 2 ) :
Pour z > e/2 on a ~ E 2 z
ð Þ ¼ ~ E
þ
2 ¼
s 2
2e o
~ u z ¼
s o
2e o
~ u z ¼ ~ E
À
1
e/2
-e/2
0
z
e
σ 2 = σ o
σ 2 = σ o
σ 1 = –σ o
σ 1 = –σ o
M
Figure 3.22 Deux plans infinis charge ´s uniforme ´ment avec une densite ´
surfacique s o et Às o .
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss