Sachant que EðzÞ ¼ ÀEðÀzÞ on aura pour tout z :
F S ¼ ½Eðz 1 Þ À Eðz 2 ފS ¼ ½EðzÞ À EðÀzފS ¼ 2EðzÞS
La charge a ` l’inte ´rieur de la surface de Gauss est : Q int ¼ s o S
L’application du the ´ore `me de Gauss conduit alors a ` :
F S ¼ 2EðzÞS ¼
s o S
e o
) EðzÞ ¼
s o
2e o
¼ E o
On obtient directement la valeur du champ qui est donc uniforme
de part et d’autre du plan.
On constate qu’il y a une discontinuite ´ du champ a ` la traverse ´e de la surface
charge ´e. Cette discontinuite ´ vaut :
D ~ E ¼ ~ Eðz > 0Þ À ~ Eðz < 0Þ ¼ E o ~ u z À ðÀE o ~ u z Þ ¼ 2E o ~ u z ¼
s o
e o
~ u z
On retrouve ici le me ˆme re ´sultat que dans le cas de la sphe `re et du cylindre
charge ´s en surface.
Dans le plan charge ´ qui est aussi un plan de syme ´trie des charges,
le champ ne peut e ˆtre que nul puis qu’il doit e ˆtre a ` la fois dans ce plan
de syme ´trie et perpendiculaire a ` ce plan (suivant ~ u z ).
Nous retrouvons le re ´sultat obtenu par le calcul direct (voir
chapitre 2.3c) en partant du champ cre ´e ´ par un disque charge ´ et en
faisant tendre le rayon vers l’infini. L’application du the ´ore `me de
Gauss permet d’obtenir rapidement et simplement ce que la me ´thode
de Coulomb donne apre `s quelques calculs d’inte ´gration plus ou moins
complique ´s.
Calcul du potentiel V(M) (voir paragraphe 2.3c)
Par de ´finition :
dVðMÞ ¼ À ~ EðMÞ:d ~ l ¼ ÀEðzÞ~ u z :½dx~ ux þ dy~ uy þ dz~ u z Š
dVðMÞ ¼ ÀEðzÞdz )
dV
dz
¼ ÀEðzÞ
Par inte ´gration on obtient le potentiel a ` une constante pre `s qui
de ´pend du choix de l’origine des potentiels.
Pour z > 0, on a :
dV
dz
¼ ÀE o ) VðzÞ ¼ ÀE o z þ V o
La constante V o repre ´sente alors le potentiel du plan charge ´,
le potentiel nul se situant a ` la cote z = V o /E o .
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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