La surface de Gauss est en dehors du plan:
Dans ces conditions z 1 > z 2 > 0 (voir figure 3.20).
La charge a ` l’inte ´rieur est donc nulle ce qui conduit a ` :
Q int ¼ 0 ) ½Eðz 1 Þ À Eðz 2 ފS ¼ 0 ) Eðz 1 Þ ¼ Eðz 2 Þ
Les valeurs positives de z 1 et z 2 e ´tant quelconques le module du
champ E est inde ´pendant de z. Le champ est donc uniforme :
Pour z > 0 on a ~ Eðx; y; zÞ ¼ E o ~ u z
Le plan charge ´ e ´tant un plan de syme ´trie on en de ´duit que :
Pour z < 0 on a ~ Eðx; y; zÞ ¼ ÀE o ~ u z
Le plan charge ´ coupe le cylindre ( figure 3.21) :
Dans ce cas la charge a ` l’inte ´rieur de la surface de Gauss correspond
a ` la charge situe ´e sur la surface S du plan charge ´ : Q int ¼ s o S
De plus, avec Eðz 1 Þ ¼ E o et Eðz 2 Þ ¼ ÀE o , le flux total s’e ´crit :
F S ¼ ½Eðz 1 Þ À Eðz 2 ފS ¼ ½E o À ðÀE o ފS ¼ 2E o S
L’application du the ´ore `me de Gauss donne :
2E o S ¼
s o S
e o
) E o ¼
s o
2e o
On a donc finalement :
Pour z > 0 : ~ EðMÞ ¼
s o
2e o
~ u z
ð3:14aÞ
Pour z < 0 : ~ EðMÞ ¼ À
s o
2e o
~ u z
ð3:14bÞ
Le re ´sultat peut e ˆtre obtenu en une seule ope ´ration. Il suffit de placer le
cylindre de fa¸ con a ` ce que les deux bases soient syme ´triques par rapport au
plan charge ´ ( figure 3.21). Le point M e ´tant sur le couvercle supe ´rieur a ` la
cote z 1 = z, le couvercle infe ´rieur se trouve a ` la cote (z 2 = Àz).
u z
→
–u z
→
u z
→
–u z
→
σ o
σ o
M
S
S
E(M) =E o u z
→
→
E o u z
→
–E o u z
→
E(M') = –E o u z
→
→
M’
M
S
S
z
M’
Figure 3.21 Plan infini charge ´ uniforme ´ment. La surface de Gauss est ici un
cylindre de section S coupe ´ par le plan charge ´.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss