Le champ ~ EðMÞ ¼ EðzÞ~ u z reste paralle `le a ` la surface cylindrique : le
flux du champ a ` travers cette portion de surface est donc nulle
( ~ EðMÞ:d ~ S ¼ 0)
Pour le couvercle C 1 on aura d ~ S 1 ¼ dS~ u z et pour C 2 : d ~ S 2 ¼ ÀdS~ u z
(le vecteur unitaire normal a ` la surface doit e ˆtre dirige ´ vers l’exte ´rieur).
Le flux total se de ´compose en deux flux :
F S ¼
þ
S Gauss
~ E:d ~ S ¼ þ
ð
C 1 ðz¼z 1 Þ
Eðz 1 Þ~ u z :dS~ u z þ
ð
C 2 ðz¼z 2 Þ
ÀEðz 2 Þ~ u z :dS~ u z
Le champ e ´tant uniforme sur les couvercles, on aura :
F S ¼
ð
C 1 ðz¼z 1 Þ
Eðz 1 ÞdS þ
ð
C 2 ðz¼z 2 Þ
ÀEðz 2 ÞdS
¼ Eðz 1 Þ
ð
C 1 ðz¼z 1 Þ
dS À Eðz 2 Þ
ð
C 2 ðz¼z 2 Þ
dS
F S ¼ Eðz 1 ÞS À Eðz 2 ÞS ¼ ½Eðz 1 Þ À Eðz 2 ފS
Le re ´sultat ne de ´pend pas de la forme de la base qui peut e ˆtre absolument
quelconque. Un disque ou une section rectangulaire conduirait au me ˆme
re ´sultat.
ä The ´ore `me de Gauss : F S ¼
Q int
e o
¼ ½Eðz 1 Þ À Eðz 2 ފS
La charge Q int (charge a ` l’inte ´rieur de la surface ferme ´e de Gauss) va
de ´pendre de la position de la surface de Gauss par rapport au plan
charge ´.
u z
→
u z
→
0
M
z
M
S
S
z 1
z 2
z 2
s o
s o
z 1
0
S
S
–u z
→
–u z
→
Figure 3.20 Plan infini charge ´ uniforme ´ment. La surface de Gauss choisie est un
cylindre de bases paralle `les au plan charge ´ et de section S quelconque.
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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