On cherche le champ e ´lectrostatique cre ´e ´ par ce plan en un point M
situe ´ a ` la distance z du plan charge ´.
ä Syme ´trie des charges
La re ´partition de charges pre ´sente la syme ´trie d’un plan (voir
paragraphe 2.3c). On a montre ´ alors que (voir figure 2.24) :
Vðx; y; zÞ ¼ VðzÞ et ~ Eðx; y; zÞ ¼ ~ EðzÞ ¼ EðzÞ~ u z
Les surfaces e ´quipotentielles de ´finies par VðzÞ = constante
correspondent a ` l’ensemble des points pour lesquels z = constante
c’est- a ` -dire a ` des plans paralle `les au plan charge ´.
Le plan charge ´ est un plan de syme ´trie pour les charges. Pour deux
points M(x, y, z) et M’ (x, y, Àz) syme ´triques par rapport a ` ce plan on
peut e ´crire que :
VðzÞ ¼ VðÀzÞ (le potentiel est une fonction paire)
~ EðzÞ ¼ À ~ EðÀzÞ ) EðzÞ ¼ ÀEðÀzÞ (le champ est une fonction
impaire)
ä Choix de la surface de Gauss
Le point M appartient a ` la surface de Gauss qui doit se composer de
surfaces paralle `les au plan charge ´ (confondues donc avec des
e ´quipotentielles). Elle est ferme ´e par des parois paralle `les au champ
E et reliant deux e ´quipotentielles. Une surface ferme ´e possible peut
e ˆtre un cylindre de bases paralle `les au plan et de ge ´ne ´ratrices
coline ´aires avec le champ ~ E (voir figure 3.20). Le point M est situe ´
sur la base supe ´rieure.
ä Expression du flux sortant a ` travers la surface de Gauss :
La surface de Gauss se de ´compose naturellement en trois parties : le
cylindre, les couvercles C 1 supe ´rieur et C 2 infe ´rieur ( figure 3.20).
σ o
σ o
z
x
y
O
M
z
y
M
Figure 3.19 Plan infini charge ´ uniforme ´ment : la droite passant par M et
perpendiculaire au plan est un axe de syme ´trie pour la re ´partition des charges.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss