Dans ce cas il est facile de voir que la charge Q int correspond a ` la
charge Q situe ´e sur une hauteur h du fil charge ´
Q int ¼ l o h
On a finalement : EðrÞ ¼
lh
2prhe o
¼
l
2pe o r
Le champ est de ´fini partout sauf sur le fil.
Calcul du potentiel V(M)
Par de ´finition : dVðMÞ ¼ À ~ EðMÞ:d ~ l ¼ ÀEðrÞ~ u r :d ~ l ¼ ÀEðrÞdr
dVðMÞ ¼ ÀEðrÞdr )
dV
dr
¼ ÀEðrÞ ¼
Àl
2pe o r
Par inte ´gration de E(r), on obtient le potentiel a ` une constante pre `s
qui de ´pend du choix de l’origine des potentiels.
VðrÞ ¼ À
l
2pe o
ln r þ V o
Il n’est pas possible de choisir le potentiel nul a ` l’infini (pre ´sence
de charges a ` l’infini) ni pour r = 0 (champ non de ´fini sur le fil).
On peut prendre alors : V(r = r o ) = 0. On a alors :
Vðr o Þ ¼ À
l
2pe o
ln r o þ V o ¼ 0 ) V o ¼
l
2pe o
ln r o :
Finalement :
VðrÞ ¼ À
l
2pe o
ln r þ V o ¼ À
l
2pe o
ln r þ
l
2pe o
ln r o ¼ À
l
2pe o
ln
r
r o
Nous retrouvons ici les me ˆmes expressions du champ et du potentiel
obtenues en utilisant la loi de Coulomb (chapitre 2.3 pre ´ce ´dent)
d) Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s
par un plan infini charge ´ uniforme ´ ment
On conside `re un plan charge ´ uniforme ´ment avec une densite ´
surfacique de charges s o . Il est possible alors de choisir un syste `me
d’axe tel que l’axe z
0 z soit perpendiculaire a ` ce plan et que les axes x
0 x
et y’y soient dans ce plan. Un point M quelconque peut e ˆtre repe ´re ´ en
coordonne ´es carte ´siennes ou bien cylindriques ( figure 3.19).
Une portion de plan de surface S porte une charge Q telle que :
Q ¼
ð
M2S
s o dS ¼ s o
ð
M2S
dS ¼ s o S
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
111