c) Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s par un fil
infini charge ´ uniforme ´ ment
Le fil est charge ´ avec une densite ´ line ´ique de charge l o constante.
Le proble `me est identique a ` celui du cylindre en faisant tendre le
rayon vers 0. Le point M ne peut qu’e ˆtre a ` l’exte ´rieur et donc les calculs
se simplifient.
ä Syme ´trie des charges
La re ´partition de charges pre ´sente la syme ´trie cylindrique (voir encart
3.5). On a vu alors que :
~ EðMÞ ¼ EðrÞ~ u r
VðMÞ ¼ VðrÞ
Les surfaces e ´quipotentielles de ´finies par Vðr; y; zÞ ¼ VðrÞ=
constante correspondent a ` des cylindres d’axe le fil et de rayon r.
ä Choix de la surface de Gauss
Comme pour le cylindre charge ´, on choisit un cylindre d’axe le fil, de
rayon r (le point M appartient a ` la surface ferme ´e de Gauss) et de
hauteur h. La surface est ferme ´e par les deux couvercles perpendiculaires a ` l’axe.
ä Expression du flux sortant a ` travers la surface de Gauss
La surface de Gauss se de ´compose naturellement en trois parties : le
cylindre, les couvercles C 1 supe ´rieur et C 2 infe ´rieur ( figure 3.17).
le flux du champ a ` travers les couvercles est nul et il ne reste que le
flux a ` travers la surface late ´rale du cylindre :
F S ¼
þ
S Gauss
~ E:d ~ S ¼
ð
r¼cst
E r
ð Þ~ u r :~ u r dS ¼
ð
r¼cst
E r
ð ÞdS ¼ E r
ð Þ
ð
r¼cst
dS
F ¼ 2prhEðrÞ
ä The ´ore `me de Gauss : F S ¼
Q int
e o
¼ 2prhEðrÞ )
EðrÞ ¼
Q int
2prhe o
ð3:13Þ
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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