Calcul du potentiel V(M)
Par de ´finition : dVðMÞ ¼ À ~ EðMÞ:d ~ l ¼ ÀEðrÞ~ u r :d ~ l
Un de ´placement e ´le ´mentaire d ~ l quelconque peut toujours se
de ´composer en un de ´placement e ´le ´mentaire dr~ u r suivant ~ u r et d ~ l ?
suivant une direction perpendiculaire a ` ~ u r . On a alors : ~ u r :d ~ l ¼ dr
La de ´finition s’e ´crit : dVðMÞ ¼ ÀEðrÞdr ) VðrÞ ¼ À
ð
EðrÞdr
Par inte ´gration de E(r), on obtient le potentiel a ` une constante pre `s
qui de ´pend du choix de l’origine des potentiels.
Rappel : le potentiel doit e ˆtre une fonction continue en tout point.
On inte `gre donc E(r) dans les diffe ´rents domaines (r < R et r > R)
puis on de ´termine les constantes d’inte ´gration en fixant une origine
des potentiels et en ve ´rifiant la continuite ´ de V pour r = R.
Le tableau 3.4 rassemble les expressions du potentiel pour une
re ´partition surfacique ou volumique de charges.
On constate qu’il n’est pas possible de choisir le potentiel nul a ` l’infini.
Ceci est lie ´ a ` l’existence de charges a ` l’infini. Il faut donc faire un autre
choix. Il y a plusieurs possibilite ´s : on peut choisir le potentiel nul sur l’axe
(V(r = 0) = 0) ou bien nul sur le cylindre (V(r = R) = 0 ou encore a ` une distance
r o quelconque (unitaire par exemple) (V(r = r o ) = 0).
La figure 3.18 est une repre ´sentation graphique des re ´sultats obtenus :
Fonction en
-lnr
Fonction en
-lnr
V int (0) = —– R
2
0
0
r
r
R
E(r)
V(r)
Répartition volumique
0
0
r
r
R
E(r)
V(r)
Répartition surfacique
ε o
σ o
—–
2ε o
σ o
—–
2ε o
ρ o R
2ε o
ρ o
—–
Fonction en
1/r
Fonction en
1/r
Portion de
parabole
Figure 3.18 Repre ´sentation graphique du champ et du potentiel cre ´e ´s par un
cylindre infini charge ´ uniforme ´ment en surface (s o ) ou en volume (r o ). Le choix
de l’origine des potentiels est V(r = R) = 0 (potentiel nul sur la surface).
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss