Dans le cas de la re ´partition surfacique de charge, on constate qu’il y a
une discontinuite ´ du champ a ` la traverse ´e de la surface charge ´e (voir
tableau 3.3). Cette discontinuite ´ vaut :
DE ¼ lim
r!R
þ
EðrÞ À lim
r!R
À
EðrÞ ¼
s o
e o
On retrouve ici le me ˆme re ´sultat que dans le cas de la sphe `re charge ´e
en surface.
Il n’y a pas de discontinuite ´ du champ pour une re ´partition volumique.
Calcul du champ e ´lectrostatique sur le cylindre charge ´ dans le
cas de la re ´paration surfacique de charges :
Dans ce cas, la surface de Gauss se confond avec une partie de la
surface charge ´e : la charge n’est ni a ` l’inte ´rieur ni a ` l’exte ´rieur, elle estsurfacique. Le the ´ore `me de Gauss s’e ´crit (relation 3.8) :
F sortant ¼
þ
M2S
~ EðMÞ:d ~ S ¼ 2pRhEðRÞ ¼
Q
surf
2e o
¼
2pRhs o
2e o
EðRÞ ¼
s o
2e o
ð3:12Þ
On constate que le champ a pour valeur la moitie ´ de la discontinuite ´.
TABLEAU 3.3 CHAMP E ´ LECTROSTATIQUE CRE ´ E ´ PAR UN CYLINDRE INFINI CHARGE ´ DE RAYON R.
OM = r
Densite ´ surfacique r o
Densite ´ volumique q o
r < R
Q int ¼ 0
EðrÞ ¼ 0
Q int ¼ r o pr
2 h
EðrÞ ¼
r o pr
2 h
2prhe o
¼
r o
2e o
r
r > R
Q int ¼ 2pRhs o
EðrÞ ¼
2pRhs o
2prhe o
¼
s o
e o
R
r
Q int ¼ pR
2 hr o
EðrÞ ¼
pR
2 hr o
2prhe o
¼
r o
2e o
R
2
r
r ¼ R
lim r!R
À EðrÞ ¼ 0
lim
r!R
þ
EðrÞ ¼ lim
r!R
þ
s o
e o
r
R
¼
s o
e o
il y a discontinuit e du champ
DE ¼ EðR
þ Þ À EðR
À Þ ¼
s o
e o
lim r!R
À
r o
2e o
r ¼
r o
2e o
R
lim
r!R
þ
r o
2e o
R
2
r
¼
r o
2e o
R
Il y a continuit e du champ
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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