Le flux du champ e ´lectrostatique a ` travers les couvercles est nul
(le champ ne traverse pas les couvercles) ; il reste donc :
F S ¼
þ
S Gauss
~ E:d ~ S ¼
ð
r¼cst
E r
ð ÞdS ¼ E r
ð Þ
ð
r¼cst
dS
La surface du cylindre de Gauss de rayon r et hauteur h est
S ¼ 2prh. On a donc :
F S ¼ 2prhEðrÞ
ä The ´ore `me de Gauss : F S ¼
Q int
e o
¼ 2prhEðrÞ )
EðrÞ ¼
Q int
2prhe o
ð3:11Þ
Il reste a ` de ´terminer la charge Q int (charge a ` l’inte ´rieur de la surface
ferme ´e de Gauss). Cette charge va de ´pendre de la position du point M
conside ´re ´.
Deux cas se pre ´sentent:
Le point M est a ` l’inte ´rieur du cylindre charge ´ (r < R). Le cylindre
de Gauss est alors a ` l’inte ´rieur du cylindre charge ´ ( figure 3.17 a).
Le point M est a ` l’exte ´rieur du cylindre charge ´ (r > R). Le cylindre
de Gauss entoure alors une partir du cylindre charge ´ ( figure 3.17 b).
Calcul de Q int dans le cas r > R (M est a ` l’exte ´rieur du cylindre
infini charge ´ de rayon R) ( figure 3.17 b)
Dans ce cas il est facile de voir que la charge Q int correspond a ` la
charge Q situe ´e sur une hauteur h du cylindre infini charge ´.
Pour r > R :
Q int = Q
Si la re ´partition est surfacique : Q int ¼ Q ¼ S h s o ¼ 2pRhs o
Si la re ´partition est volumique : Q int ¼ Q ¼ V h r o ¼ pR
2 hr o
Calcul de Q int dans le cas r < R (M est a ` l’inte ´rieur du cylindre
infini charge ´ de rayon R) ( figure 3.17 a)
Si la re ´partition de charge est surfacique, les charges se trouvent
a ` l’exte ´rieur de la surface de Gauss : il n’y a aucune charge dans la
surface ferme ´e de Gauss : Q int = 0
Si la re ´partition est volumique, la charge inte ´rieure se trouve dans le
volume de ´limite ´ par la surface de Gauss ferme ´e. On a donc :
Q int ¼ r o V Gauss ¼ r o pr
2 h
Les expressions du champ e ´lectrostatique (relation 3.11), suivant les
valeurs de OM = r et dans les cas ou ` la re ´partition de charges est
uniforme surfacique ou volumique, sont rassemble ´es dans le tableau 3.3.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss