Remarque :
Le re ´sultat final ne doit pas de ´pendre de la hauteur h qui est choisie de
fa¸ con arbitraire.
ä Expression du flux sortant a ` travers la surface de Gauss :
La surface de Gauss se de ´compose naturellement en trois parties :
le cylindre, les couvercles C 1 supe ´rieur et C 2 infe ´rieur ( figure 3.17).
La surface e ´le ´mentaire sur la partie cylindrique, autour du point M,
s’e ´crit : d ~ S ¼ dS~ u r .
Pour le couvercle C 1 on aura d ~ S 1 ¼ dS 1 ~ u z et pour C 2 : d ~ S 2 ¼ ÀdS 2 ~ u z
(le vecteur unitaire normal a ` la surface doit e ˆtre dirige ´ vers l’exte ´rieur).
Le flux total se de ´compose en trois flux :
F S ¼
þ
S Gauss
~ E:d ~ S
¼
ð
r¼cst
E r
ð Þ~ u r :~ u r dS þ
ð
C 1
E r
ð Þ~ u r :dS 1 ~ u z þ
ð
C 2
ÀE r
ð Þ~ u r :dS 2 ~ u z
u r
→
u r
→
–u z
→
–u z
→
u z
→
u z
→
z’
z
z’
z
r
R
R
r
M
M
h
h
Cylindre infini
chargé
Surface fermée
de Gauss
(cylindre)
(b)
(a)
Figure 3.17 Cylindre infini de rayon R charge ´ uniforme ´ment et surface
cylindrique de Gauss, hauteur h et rayon r (distance du point M a ` l’axe) avec
a) r < R et b) r > R.
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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