Encart 3.5 Syme ´ trie cylindrique
Les coordonne ´es approprie ´es sont les coordonne ´es cylindriques
(r, y, z) (voir figure)
p 1
p 2
D = z'z
L’axe D ¼ z
0
z est un axe de syme ´trie de re ´volution
Il y a invariance par translation paralle `lement a ` cet axe (suivant z)
(cylindre infini)
Il y a invariance par rotation d’un angle y autour a ` cet axe
Les plans p 1 et p 2 sont des plans de syme ´trie ou plans miroir (tout
plan contenant l’axe de syme ´trie ou perpendiculaire a ` l’axe de
syme ´trie est un plan de syme ´trie)
Pour une densite ´ volumique de charges pre ´sentant la syme ´trie
cylindrique on aura : rðr; y; zÞ ¼ rðrÞ
Pour une densite ´ surfacique de charges on aura :
sðr ¼ R; y; zÞ ¼ sðr ¼ RÞ ¼ s o (le rayon est fixe ´)
ä Choix de la surface de Gauss
Le champ ~ EðrÞ ¼ EðrÞ~ u r , radial, est perpendiculaire a ` des surfaces
cylindriques d’axe z
0 z et garde une norme constante sur ces cylindres
(r fixe ´). La surface de Gauss a ` prendre est donc un cylindre d’axe z
0 z et
de rayon r (le point M appartient a ` la surface ferme ´e de Gauss).
La surface doit de ´limiter un volume fini de l’espace pour que la valeur
du flux prenne une valeur finie. Il suffit alors de limiter le cylindre de
Gauss a ` une hauteur h quelconque, la surface e ´tant ferme ´e par les deux
couvercles perpendiculaires a ` l’axe.
104
Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss
Les coordonne ´es approprie ´es sont les coordonne ´es cylindriques
(r, y, z) (voir figure)
p 1
p 2
D = z'z
L’axe D ¼ z
0
z est un axe de syme ´trie de re ´volution
Il y a invariance par translation paralle `lement a ` cet axe (suivant z)
(cylindre infini)
Il y a invariance par rotation d’un angle y autour a ` cet axe
Les plans p 1 et p 2 sont des plans de syme ´trie ou plans miroir (tout
plan contenant l’axe de syme ´trie ou perpendiculaire a ` l’axe de
syme ´trie est un plan de syme ´trie)
Pour une densite ´ volumique de charges pre ´sentant la syme ´trie
cylindrique on aura : rðr; y; zÞ ¼ rðrÞ
Pour une densite ´ surfacique de charges on aura :
sðr ¼ R; y; zÞ ¼ sðr ¼ RÞ ¼ s o (le rayon est fixe ´)
ä Choix de la surface de Gauss
Le champ ~ EðrÞ ¼ EðrÞ~ u r , radial, est perpendiculaire a ` des surfaces
cylindriques d’axe z
0 z et garde une norme constante sur ces cylindres
(r fixe ´). La surface de Gauss a ` prendre est donc un cylindre d’axe z
0 z et
de rayon r (le point M appartient a ` la surface ferme ´e de Gauss).
La surface doit de ´limiter un volume fini de l’espace pour que la valeur
du flux prenne une valeur finie. Il suffit alors de limiter le cylindre de
Gauss a ` une hauteur h quelconque, la surface e ´tant ferme ´e par les deux
couvercles perpendiculaires a ` l’axe.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss