Une hauteur h du cylindre (surface S C , volume V C ), porte une
charge Q correspondant alors a ` :
Q ¼
ð
M2S C
s o dS ¼ s o
ð
M2S C
dS ¼ s o S C ¼ 2pRhs o ) s o ¼
Q
2pRh
si la re ´partition est surfacique
Q ¼
ð
M2V C
r o dV ¼ r o
ð
M2V C
dV ¼ r o V C ¼ pR
2 hr o ) r o ¼
Q
pR
2 h
si la re ´partition est volumique
Dans la suite, on cherche le champ e ´lectrostatique cre ´e ´ par ce
cylindre en un point M situe ´ a ` la distance r de l’axe de syme ´trie.
ä Syme ´trie des charges
La re ´partition des charges pre ´sente la syme ´trie cylindrique (voir encart
3.5).
Le champ et le potentiel s’expriment en coordonne ´es cylindriques
par :
~ EðMÞ ¼ ~ Eðr; y; zÞ et VðMÞ ¼ Vðr; y; zÞ
L’invariance par translation suivant z et par rotation d’un angle y
quelconque autour de cet axe conduit a ` :
Vðr; y; zÞ ¼ VðrÞ et ~ Eðr; y; zÞ ¼ ~ EðrÞ
Les surfaces e ´quipotentielles correspondent a ` l’ensemble des points
pour lesquels r = constante c’est- a ` -dire a ` des cylindres de me ˆme axe
z’z et de rayon r.
Le champ e ´tant perpendiculaire aux surfaces e ´quipotentielles,
il est force ´ment radial : ~ EðrÞ ¼ EðrÞ~ u r
La droite perpendiculaire a ` l’axe et passant par un point M est un axe de
syme ´trie d’ordre 2 correspondant a ` l’intersection de 2 plans de syme ´trie p 1
(contenant M et l’axe) et p 2 (contenant M et perpendiculaire a ` l’axe)
(voir encart 3.5). Le champ e ´lectrostatique est donc suivant cette droite
et donc radial.
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
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