TABLEAU 3.2 POTENTIEL E ´ LECTROSTATIQUE CRE ´ E ´ PAR UNE SPHE ` RE CHARGE ´ E : LA SPHE ` RE,
DE CENTRE O ET RAYON R, PORTE LA CHARGE TOTALE Q.
OM = r
Densite ´ surfacique r o
Densite ´ volumique q o
r < R
dV int
dr
¼ ÀEðrÞ ¼ 0
V int ðrÞ ¼ constante ¼ V 1
ÀEðrÞ ¼
ÀQ
4pe o
r
R
3
¼
Àr o
3e o
r
V int ðrÞ ¼ À
r o
6e o
r
2 þ V 1
¼ À
Q
8pe o
r
2
R
3
þ V 1
r > R
ÀEðrÞ ¼
ÀQ
4pe o r 2 ¼
Às o
e o
R
2
r 2
V ext ðrÞ ¼
Q
4pe o r
þ V 2
¼
s o
e o
R
2
r
þ V 2
Vðr!?Þ ¼ 0 ) V 2 ¼ 0
V ext ðrÞ ¼
Q
4pe o r
¼
s o
e o
R
2
r
ÀEðrÞ ¼
ÀQ
4pe o r 2 ¼
Àr o
e o
R
3
3r 2
V ext ðrÞ ¼
Q
4pe o r
þ V 2
¼
r o
3e o
R
3
r
þ V 2
Vðr!?Þ ¼ 0 ) V 2 ¼ 0
V ext ðrÞ ¼
Q
4pe o r
¼
r o
3e o
R
3
r
r ¼ R
Continuit e du potentiel en r ¼ R
V int ðr!R
À Þ ¼ V 1 ¼ V ext ðr!R
þ Þ
V int ðrÞ ¼ V 1 ¼
Q
4pe o R
¼
s o
e o
R
Continuit e du potentiel en r ¼ R
V int ðR
À Þ ¼
Àr o
6e o
R
2 þ V 1
¼
ÀQ
8pe o R
þ V 1
V ext ðR
þ Þ ¼
Q
4pe o R
¼
r o
3e o
R
2
V int ðr!R
À Þ ¼ V ext ðr!R
þ Þ
) V 1 ¼
3Q
8pe o R
¼
r o
2e o
R
2
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss