On obtient alors : dVðMÞ ¼ ÀEðrÞdr )
dV
dr ¼ ÀEðrÞ
Par inte ´gration de E(r), on obtient le potentiel a ` une constante pre `s
qui de ´pend du choix de l’origine des potentiels.
Le champ e ´lectrostatique e ´tant une grandeur physique qui existe,
le potentiel doit e ˆtre une fonction de ´rivable en tout point ce qui impose
qu’elle soit continue.
On inte `gre donc E(r) dans les diffe ´rents domaines (r < R et r > R)
puis on de ´termine les constantes d’inte ´gration en fixant une origine des
potentiels et en ve ´rifiant la continuite ´ de V pour r = R.
Pour les calculs du potentiel, on peut choisir par exemple le
potentiel nul a ` l’infini : Vðr!?Þ ¼ 0
Le tableau 3.2 rassemble les expressions du potentiel pour une
re ´partition surfacique ou volumique de charges.
La figure 3.16 est une repre ´sentation graphique des re ´sultats obtenus :
b) Champ et potentiel e ´ lectrostatiques cre ´ e ´ s par un
cylindre charge ´ uniforme ´ ment
Le cylindre, conside ´re ´ de longueur infinie, est caracte ´rise ´ par son axe
de re ´volution zz
0 et son rayon R. Il est charge ´ uniforme ´ment soit en
surface (densite ´ surfacique s o ) soit en volume (densite ´ volumique r o ).
Fonction en
1/r
Fonction en
1/r
0
0
r
r
R
E(r)
V(r)
Répartition volumique
0
0
r
r
R
E(r)
V(r)
ε o
σ o
Q
V 1 = ——— = —– R
4πε o R
Fonction en
1/r 2
Fonction en
1/r 2
1
V
Répartition surfacique
Portion de
parabole
ε o
σ o
—–
2ε o
σ o
—–
3ε o
ρ o R
—–
3ε o
ρ o R
2
——
V 1 = —– R
2
2ε o
ρ o
Figure 3.16 Repre ´sentation graphique du champ et du potentiel cre ´e ´s
par une sphe `re charge ´e (charge Q) uniforme ´ment en surface (s o ) ou en
volume (r o ).
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
101