(voir tableau 3.1). Cette discontinuite ´ vaut :
DE ¼ lim
r!R
þ
EðrÞ À lim
r!R
À
EðrÞ ¼
s o
e o
Ce re ´sultat se ve ´rifie pour toute surface charge ´e inde ´pendamment de
sa forme.
Il n’y a pas de discontinuite ´ du champ pour une re ´partition volumique.
Calcul du champ e ´lectrostatique sur la sphe `re charge ´e dans le
cas de la re ´paration surfacique de charges :
Dans ce cas, la surface de Gauss se confond avec la surface sphe ´rique charge ´e : les charges ne sont ni a ` l’inte ´rieur ni a ` l’exte ´rieur de la
surface de Gauss, elle sont sur la surface. Le the ´ore `me de Gauss s’e ´crit
(relation 3.8) :
F sortant ¼
þ
M2S
~ EðMÞ:d ~ S ¼ 4pR
2 EðRÞ ¼
Q
surf
2e o
¼
Q
2e o
EðRÞ ¼
Q
8pR
2
e o
¼
s o
2e o
ð3:10Þ
On constate que le champ a pour valeur la moitie ´ de la discontinuite ´.
Calcul du potentiel V(M)
Par de ´finition :
dVðMÞ ¼ À ~ EðMÞ:d ~ l ¼ ÀEðrÞ~ u r :d ~ l
Un de ´placement e ´le ´mentaire d ~ l quelconque peut toujours se
de ´composer en un de ´placement e ´le ´mentaire dr~ u r suivant ~ u r et d ~ l ?
suivant une direction perpendiculaire a ` ~ u r . On peut e ´crire :
~ u r :d ~ l ¼ ~ u r :½dr~ u r þ d ~ l ? Š ¼ dr
R
O
M
r>R
r>R
O
Q
Q
M
E(M)
→
E(M)
→
Figure 3.15 E ´ quivalence entre le champ e ´lectrostatique cre ´e ´ a ` l’exte ´rieur d’une
sphe `re portant une charge Q (la re ´partition de charge pre ´sentant la syme ´trie
sphe ´rique) et le champ cre ´e ´ par cette me ˆme charge ponctuelle situe ´e au centre
O de la sphe `re.
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss