Dans ce cas, si r < R, il faut calculer la charge qui se trouve
uniquement dans la sphe `re de rayon r (rayon de la sphe `re de Gauss) :
Q int ¼ r o V Gauss ¼ r o
4
3
pr
3
Les expressions du champ e ´lectrostatique (relation 3.9), suivant
les valeurs de OM = r et dans les cas ou ` la re ´partition de charge
est uniforme surfacique ou volumique, sont rassemble ´es dans le
tableau 3.1.
Lorsque le point M est a ` l’exte ´rieur de la sphe `re portant la charge Q, le
champ e ´lectrostatique a la me ˆme expression que le champ cre ´e ´ par une
charge ponctuelle Q situe ´e au centre O de la sphe `re. Ceci est vrai quelque
soit le type de re ´partition des charges (surfacique ou volumique) du
moment que la syme ´trie sphe ´rique est conserve ´e (figure 3.15).
Dans le cas de la re ´partition surfacique de charge, on constate qu’il y a
une discontinuite ´ du champ a ` la traverse ´e de la surface charge ´e
TABLEAU 3.1 CHAMP E ´ LECTROSTATIQUE CRE ´ E ´ PAR UNE SPHE ` RE CHARGE ´ E : LA SPHE ` RE, DE CENTRE
O ET RAYON R, PORTE LA CHARGE TOTALE Q.
OM = r
Densite ´ surfacique r o
Densite ´ volumique q o
r < R
Q int ¼ 0
EðrÞ ¼ 0
Q int ¼ r o
4
3
pr
3 ¼ Q
r
3
R
3
EðrÞ ¼
Q
4pe o
r
R
3
¼
r o
3e o
r
r > R
Q int ¼ Q
EðrÞ ¼
Q
4pe o r 2 ¼
s o
e o
R
2
r 2
Q int ¼ Q
EðrÞ ¼
Q
4pe o r 2 ¼
r o
e o
R
3
3r 2
r ¼ R
lim r!R
À EðrÞ ¼ 0
lim
r!R
þ
EðrÞ ¼
Q
4pe o R
2
¼
s o
e o
il y a discontinuit e du champ
DE ¼ EðR
þ Þ À EðR
À Þ ¼
s o
e o
lim r!R
À
Q
4pe o
r
R
3
¼
Q
4pe o R
2
lim
r!R
þ
Q
4pe o r 2 ¼
Q
4pe o R
2
il y a continuit e du champ
3.3
l Applications du the ´ore `me de Gauss
99