Il reste a ` de ´terminer la charge Q int (charge a ` l’inte ´rieur de la surface
ferme ´e de Gauss, ici la sphe `re de rayon r). Cette charge va de ´pendre de
la position du point M conside ´re ´.
Deux cas se pre ´sentent :
Le point M est a ` l’inte ´rieur de la sphe `re charge ´e (r < R). La sphe `re
de Gauss est donc a ` l’inte ´rieur de la sphe `re charge ´e ( figure 3.14 b).
Le point M est a ` l’exte ´rieur de la sphe `re charge ´e (r > R). La sphe `re
de Gauss entoure comple `tement la sphe `re charge ´e ( figure 3.14 a).
Calcul de Q int dans le cas r > R (M est a ` l’exte ´rieur de la sphe `re
charge ´e de rayon R) ( figure 3.14a)
Dans ce cas il est facile de voir que la charge Q int correspond a ` la
charge totale de la sphe `re c’est- a ` -dire Q.
Pour r > R :
Q int = Q
Ce re ´sultat est valable que la charge soit surfacique ou volumique.
Calcul de Q int dans le cas r < R (M est a ` l’inte ´rieur de la sphe ´re
charge ´e de rayon R) ( figure 3.14b)
Si la re ´partition de charge est surfacique et uniforme, on a :
s o ¼
Q
S
¼
Q
4pR
2
) Q ¼ 4pR
2
s o
Dans ce cas, si r < R, il n’y a aucune charge a ` l’inte ´rieur de la surface
de Gauss (Q int nulle).
Si la re ´partition est volumique, la charge e ´tant re ´partie uniforme ´ment dans le volume V ¼
4
3 pR
3 , on a :
r o ¼
Q
V
¼
3Q
4pR
3
) Q ¼
4
3
pR
3
r o
R
O
M
r>R
R
O
M
r Sphère
Charge Q
Sphère
de Gauss
(b)
(a)
Figure 3.14 Sphe `re de rayon R portant une charge Q et sphe `re de Gauss de
rayon OM = r avec a) r > R et b) r < R.
98
Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss