On cherche le champ e ´lectrostatique cre ´e ´ par cette sphe `re en un
point M situe ´ a ` la distance r de O (OM = r).
ä Syme ´trie des charges
La re ´partition de charges pre ´sente la syme ´trie sphe ´rique (voir
encart 3.4).
Le champ et le potentiel s’expriment en coordonne ´es sphe ´riques :
On a ~ EðMÞ ¼ ~ Eðr; y; jÞ et VðMÞ ¼ Vðr; y; jÞ
Pour tout point M de l’espace, la droite OM est un axe de
syme ´trie. De plus il y a invariance par rotation des angles (y, j). On
peut e ´crire :
Vðr; y; jÞ ¼ VðrÞ et ~ Eðr; y; jÞ ¼ ~ EðrÞ
Les surfaces e ´quipotentielles de ´finies par VðrÞ = constante
correspondent a ` l’ensemble des points pour lesquels r = constante
c’est a ` dire a ` des sphe `res centre ´es sur O et de rayon r.
Le champ devant e ˆtre suivant la direction de OM (axe de syme ´trie) il
est donc radial : ~ EðrÞ ¼ EðrÞ~ u r
On retrouve bien que le champ e ´lectrostatique est perpendiculaire
aux surfaces e ´quipotentielles.
ä Choix de la surface de Gauss
Le champ ~ EðrÞ ¼ EðrÞ~ u r , radial, est perpendiculaire a ` des surfaces
sphe ´riques centre ´es sur O et garde une norme constante sur ces sphe `res
(r fixe ´). La surface de Gauss a ` prendre est donc une sphe `re de centre O
de rayon r = OM (le point M appartient a ` la surface ferme ´e de Gauss).
ä Expression du flux sortant a ` travers la surface de Gauss :
Une surface e ´le ´mentaire sur la sphe `re autour du point M s’e ´crit : d ~ S ¼
dS~ u r . On a donc :
F S ¼
þ
r¼cst
~ Ed ~ S ¼
þ
r¼cst
EðrÞ~ u r :~ u r dS ¼
þ
r¼cst
EðrÞdS ¼ EðrÞ
þ
r¼cst
dS
¼ EðrÞS
La surface de la sphe `re de Gauss de rayon r est S ¼ 4pr
2 ; On a donc :
F S ¼ 4pr
2 EðrÞ
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss