c) Inte ´ re ˆ t et utilisation du the ´ ore ` me de Gauss
L’inte ´re ˆt de ce the ´ore `me est de pouvoir de ´terminer le champ
e ´lectrostatique en tout point M de l’espace cre ´e ´ par une re ´partition
de charges connue. Pour cela il faut e ˆtre capable de trouver une surface
ferme ´e dite de Gauss S G qui passe par le point M et pour laquelle le
calcul du flux du champ ~ EðMÞ est simple. Si le champ est en tout point
perpendiculaire a ` la surface choisie on aura :
~ EðMÞ perpendiculaire a ` dS ) ~ E= =d ~ S ) ~ EðMÞ:d ~ S ¼ EðMÞdS
Typiquement les surfaces re ´pondant a ` ce crite `re sont les surfaces
e ´quipotentielles.
Si de plus la valeur du champ est constant en tout point de cette
surface alors avec E(M) = E :
F sortant ¼
þ
M2S
~ EðMÞ:d ~ S ¼
þ
M2S
EðMÞdS ¼
þ
M2S
EdS ¼ E
þ
M2S
dS ¼ ES
Il suffit ensuite d’exprimer le flux en utilisant le the ´ore `me de Gauss :
ES ¼
Q int
e o
) E ¼
Q int
e o S
On peut comple ´ter une surface non ferme ´e qui re ´pond aux crite `res
pre ´ce ´dents par des surfaces pour lesquelles le flux du champ
e ´lectrostatique est nul, c’est- a ` -dire une surface qui contient le vecteur
champ (si ~ E est paralle `le a ` dS alors ~ E?d ~ S ) ~ E:d ~ S ¼ 0)
Le calcul de la charge inte ´rieure a ` la surface de Gauss se fait tre `s
simplement en de ´nombrant les charges situe ´es dans le volume inte ´rieur
(voir e ´quations 3.4, 3.5 et 3.6).
L’application du the ´ore `me de Gauss ne sera possible que si il y a
suffisamment de syme ´trie pour avoir une ide ´e de l’allure des lignes de
champs et donc de pouvoir choisir la bonne surface de Gauss.
L’utilisation du the ´ore `me de Gauss pour de ´terminer le champ
e ´lectrostatique cre ´e ´ par une distribution de charges donne le re ´sultat
avec une remarquable simplicite ´ dans le cas de syste `mes charge ´s
de haute syme ´trie (cylindrique, sphe ´rique). Cependant, au dela ` de
cet aspect pratique, le the ´ore `me de Gauss est une formulation inte ´grale
liant les effets (champ) aux sources (charges). La forme locale de ce
the ´ore `me constitue l’une des quatre e ´quations fondamentales de
l’e ´lectromagne ´tisme selon Maxwell.
Dans la suite, on appliquera le the ´ore `me de Gauss a ` des distributions
de charges pre ´sentant diffe ´rentes ge ´ome ´tries. On de ´taillera la
proce ´dure pour de ´terminer la cartographie des lignes du champ
94
Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss
L’inte ´re ˆt de ce the ´ore `me est de pouvoir de ´terminer le champ
e ´lectrostatique en tout point M de l’espace cre ´e ´ par une re ´partition
de charges connue. Pour cela il faut e ˆtre capable de trouver une surface
ferme ´e dite de Gauss S G qui passe par le point M et pour laquelle le
calcul du flux du champ ~ EðMÞ est simple. Si le champ est en tout point
perpendiculaire a ` la surface choisie on aura :
~ EðMÞ perpendiculaire a ` dS ) ~ E= =d ~ S ) ~ EðMÞ:d ~ S ¼ EðMÞdS
Typiquement les surfaces re ´pondant a ` ce crite `re sont les surfaces
e ´quipotentielles.
Si de plus la valeur du champ est constant en tout point de cette
surface alors avec E(M) = E :
F sortant ¼
þ
M2S
~ EðMÞ:d ~ S ¼
þ
M2S
EðMÞdS ¼
þ
M2S
EdS ¼ E
þ
M2S
dS ¼ ES
Il suffit ensuite d’exprimer le flux en utilisant le the ´ore `me de Gauss :
ES ¼
Q int
e o
) E ¼
Q int
e o S
On peut comple ´ter une surface non ferme ´e qui re ´pond aux crite `res
pre ´ce ´dents par des surfaces pour lesquelles le flux du champ
e ´lectrostatique est nul, c’est- a ` -dire une surface qui contient le vecteur
champ (si ~ E est paralle `le a ` dS alors ~ E?d ~ S ) ~ E:d ~ S ¼ 0)
Le calcul de la charge inte ´rieure a ` la surface de Gauss se fait tre `s
simplement en de ´nombrant les charges situe ´es dans le volume inte ´rieur
(voir e ´quations 3.4, 3.5 et 3.6).
L’application du the ´ore `me de Gauss ne sera possible que si il y a
suffisamment de syme ´trie pour avoir une ide ´e de l’allure des lignes de
champs et donc de pouvoir choisir la bonne surface de Gauss.
L’utilisation du the ´ore `me de Gauss pour de ´terminer le champ
e ´lectrostatique cre ´e ´ par une distribution de charges donne le re ´sultat
avec une remarquable simplicite ´ dans le cas de syste `mes charge ´s
de haute syme ´trie (cylindrique, sphe ´rique). Cependant, au dela ` de
cet aspect pratique, le the ´ore `me de Gauss est une formulation inte ´grale
liant les effets (champ) aux sources (charges). La forme locale de ce
the ´ore `me constitue l’une des quatre e ´quations fondamentales de
l’e ´lectromagne ´tisme selon Maxwell.
Dans la suite, on appliquera le the ´ore `me de Gauss a ` des distributions
de charges pre ´sentant diffe ´rentes ge ´ome ´tries. On de ´taillera la
proce ´dure pour de ´terminer la cartographie des lignes du champ
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Chapitre 3
l The ´ore `me de Gauss