Le champ e ´lectrostatique total ~ EðMÞ correspond a ` la superposition
des champs cre ´e ´s par toutes les charges :
~ EðMÞ ¼
X
i
~ E i
ext
ðMÞ þ
X
i
~ E j
int
ðMÞ
Le flux sortant F a ` travers la surface S du champ e ´lectrostatique total
~ EðMÞ s’e ´crit :
F ¼
þ
M2S
~ EðMÞ:d ~ S ¼
þ
M2S
X
i
~ E i
ext
þ
X
j
~ E j
int
!
:d ~ S
F ¼
þ
M2S
X
i
~ E i
ext
!
:d ~ S þ
þ
M2S
X
j
~ E j
int
!
:d ~ S
¼
X
i
þ
M2S
~ E i
ext
:d ~ S þ
X
j
þ
M2S
~ E j
ext
:d ~ S
F ¼
X
i
F
ext
i þ
X
j
F
int
j ¼ 0 þ
X
j
q
int
j
e o
¼
Q
int
e o
avec Q int ¼
P
j q
int
j la charge totale situe ´e dans le volume V int de ´limite ´
par la surface ferme ´e S.
Il est facile de ge ´ne ´raliser dans le cas ou ` la distribution de charges
est continue : il suffit de remplacer le symbole sommation S par le
symbole inte ´gration
R
.
ä On aura, pour un volume charge ´ V charg e avec une densite ´ volumique
de charges rðMÞ :
Q
int
¼
ð
M2V int
rðMÞdV
ð3:4Þ
Si la densite ´ volumique de charge est uniforme rðMÞ ¼ r o , alors :
Q
int
¼ r o
ð
M2V int
dV ¼ r o V
L’inte ´gration se fait uniquement sur le volume V int car seule la charge
inte ´rieure a ` la surface S intervient dans la valeur du flux. Les charges a `
l’exte ´rieur donnent un flux nul.
3.2
l The ´ore `me de Gauss
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